Сигма-алгебра

Сигма-алгебра — семейство подмножеств фиксированного пространства $\Omega$, замкнутое относительно счётных операций: если $A\in \mathfrak{F}$, то и дополнение $\Omega \setminus A$ лежит в $\mathfrak{F}$; если $A_1,A_2,\cdots \in \mathfrak{F}$, то и объединение ${\bigcup }_n{A}_n$ лежит. Пересечения и разности достаются автоматически по формулам де Моргана. Примеры: тривиальная $\{\varnothing ,\Omega \}$, семейство всех подмножеств $\mathcal{P}(\Omega )$ и главная для анализа борелевская σ-алгебра — наименьшая, содержащая все открытые множества прямой.

Зачем ограничиваться σ-алгеброй, а не брать сразу все множества? Потому что меру, аддитивную на счётных разбиениях, на всех подмножествах прямой построить нельзя — мешают неизмеримые множества Витали. σ-алгебра — законная арена, где мера живёт и где имеют смысл события вида $\{f>a\}$, из которых собираются измеримые функции. Как борелевские множества пополняются нуль-множествами до измеримых по Лебегу — в уроке мера множества.