Интеграл Лебега

Интеграл Римана режет ось абсцисс: отрезок дробится на мелкие части, длина каждой умножается на высоту функции над ней, и всё складывается. Лебег перевернул конструкцию — резать надо ось значений: соберём точки, где функция принимает значения из узкого коридора, взвесим их мерой множества и просуммируем по коридорам. Интеграл Лебега — это счёт деньгами по достоинству купюр вместо пересчёта по одной: для простой функции $s={\sum }_k{c}_k{1}_{E_k}$ интеграл равен ${\sum }_k{c}_{k}m(E_k)$, для произвольной неотрицательной $f$ — супремум интегралов простых функций, снизу её приближающих. Такая конструкция взвешивает функцию не там, где она «хорошая», а там, где измеримы её уровни: какие функции допускаются, объясняет термин измеримость по Лебегу, а пошаговое построение с критерием Римана — в уроке интеграл Лебега.

Выигрыш виден на функции Дирихле: единица на иррационалах и нуль на рационалах отрезка $[0,1]$ не интегрируема по Риману ни при каком измельчении разбиения, а по Лебегу её интеграл — единица, умноженная на меру иррациональных точек: $1\cdot m([0,1]\setminus \mathbb{Q})=1$, ведь рациональных точек счётно много и все они имеют меру нуль. Арифметику конструкции показывает и $f(x)=x$ на $[0,1]$: разбиение по значениям с шагом $0,1$ даёт нижнюю сумму $\sum (k/10)\cdot 0,1=0,45$ и верхнюю $0,55$ — при измельчении обе сходятся к точному значению $0,5$. Главная же сила — предельные теоремы: теоремы Леви и Лебега позволяют менять местами предел и интеграл при условиях куда мягче равномерной сходимости, и именно они делают теорию работоспособной — разбор в уроке предельные теоремы Лебега.