📈 Матанализ

Синусоида

Q: Как построить синусоиду без таблицы значений?

По опорным точкам одного периода: нули в $0$, $\pi$, $2\pi$; максимум $1$ в $\tfrac{\pi}{2}$; минимум $-1$ в $\tfrac{3\pi}{2}$. Соедините плавной волной и повторите влево и вправо. Для $y = A\sin(kx + \varphi)$ сначала отметьте сдвиг $-\tfrac{\varphi}{k}$, затем растяните период до $\tfrac{2\pi}{k}$ и умножьте высоту на $A$.

Q: Чем синусоида отличается от косинусоиды?

Только сдвигом на четверть периода: $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$. Формы волн идентичны — различается начальная фаза. В задачах на колебания выбор записи диктуется начальными условиями: что равно нулю в момент старта, синус смещения или его скорость.

англ. Sine wave

График функции y = sin x: волна с периодом 2π, амплитудой 1, нулями в πk и экстремумами в π/2 + πk — модель колебаний.

Синусоида — график $y = sin x$ : плавная волна, которая поднимается от нуля до единицы на $[0; \frac{π}{2}]$ , опускается до минус единицы к $\frac{3 π}{2}$ и возвращается. Ключевые точки: нули в $π k$ , максимумы в $\frac{π}{2} + 2 π n$ , минимумы в $- \frac{π}{2} + 2 π n$ . Волна симметрична относительно начала координат (нечётность) и повторяется каждые $2 π$ (период). Точки перегиба стоят ровно в нулях — там кривая меняет выпуклость.

Синусоида — самая распространённая кривая прикладной математики: переменный ток в розетке (50 Гц — пятьдесят волн в секунду), звуковые волны, приливы, колебания пружины. Общий вид колебания $y = A sin (k x + φ) + b$ меняет картину тремя ручками: амплитуда $A$ растягивает по вертикали, $k$ сжимает по горизонтали (период $\frac{2 π}{k}$ ), сдвиг $φ$ и подъём $b$ смещают волну — построение по шагам описано в термине построение синусоиды. График косинуса — та же волна, сдвинутая на $\frac{π}{2}$ влево (см. график косинуса).

y = A sin (k x + φ) + b; T = \frac{2 π}{∣ k ∣}; нули : x = \frac{- φ + π n}{k}

общий вид волны, её период и формула нулей

Частые вопросы

Как построить синусоиду без таблицы значений?

По опорным точкам одного периода: нули в $0$ , $π$ , $2 π$ ; максимум $1$ в $\frac{π}{2}$ ; минимум $- 1$ в $\frac{3 π}{2}$ . Соедините плавной волной и повторите влево и вправо. Для $y = A sin (k x + φ)$ сначала отметьте сдвиг $- \frac{φ}{k}$ , затем растяните период до $\frac{2 π}{k}$ и умножьте высоту на $A$ .

Чем синусоида отличается от косинусоиды?

Только сдвигом на четверть периода: $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ . Формы волн идентичны — различается начальная фаза. В задачах на колебания выбор записи диктуется начальными условиями: что равно нулю в момент старта, синус смещения или его скорость.