📈 Матанализ

Преобразование графиков

Q: Почему f(x − a) сдвигает вправо?

Потому что событие, которое раньше происходило в нуле, теперь требует $x = a$: аргумент должен «добежать» лишние $a$ единиц. График отстаёт — выглядит сдвинутым вправо. Интуитивная ловушка «минус — влево» здесь перевёрнута: знак внутри аргумента работает против ожидания.

Q: В каком порядке применять несколько преобразований?

Сначала всё, что меняет аргумент (сжатие, затем сдвиг), потом всё, что меняет значение (растяжение, затем подъём). Для $y = A f(k(x - a)) + b$ порядок: сжатие $k$, сдвиг $a$, амплитуда $A$, подъём $b$. Двигая точку за точкой, легко проверить себя: возьмите опорную точку базового графика и проведите её через все преобразования.

англ. Graph transformations

Сдвиги, растяжения и отражения: y = f(x) + b — вверх, y = f(x − a) — вправо, y = k·f(x) — растяжение по y, y = f(kx) — сжатие по x.

Зная график базовой функции, графики семейства строятся преобразованиями. Сдвиги: $y = f (x) + b$ поднимает график на $b$ ; $y = f (x - a)$ сдвигает вправо на $a$ (минус внутри — вправо, это ловушка). Растяжения: $y = k f (x)$ растягивает по вертикали в $k$ раз (при $k < 0$ — с отражением через ось $x$ ); $y = f (k x)$ сжимает по горизонтали в $k$ раз (период $\frac{2 π}{k}$ у синуса). Отражения: $y = f (- x)$ — зеркало относительно оси $y$ , $y = - f (x)$ — относительно оси $x$ .

Порядок операций важен: $y = 2 sin (3 x - π) + 1$ строится по слоям — сначала сжатие по $x$ втрое, затем сдвиг вправо на $\frac{π}{3}$ (пересчёт: $3 x - π = 0$ при $x = \frac{π}{3}$ ), затем растяжение по $y$ вдвое и подъём на единицу. Каждое преобразование двигает свои опорные точки: нули синуса в $\frac{π n}{3}$ , размах от $- 1$ до $3$ . Проверка одной точкой: подставьте $x = \frac{π}{3}$ — синус нулевой, результат $1$ — совпало со сдвинутым нулём. Тренировка на волнах — в построении синусоиды; амплитуда и фаза — в амплитуде колебаний.

f (x - a) \to вправо на a; f (k x) \to сжатие в k раз; - f (x) \to зеркало по x

три группы преобразований и их направления

Частые вопросы

Почему f(x − a) сдвигает вправо?

Потому что событие, которое раньше происходило в нуле, теперь требует $x = a$ : аргумент должен «добежать» лишние $a$ единиц. График отстаёт — выглядит сдвинутым вправо. Интуитивная ловушка «минус — влево» здесь перевёрнута: знак внутри аргумента работает против ожидания.

В каком порядке применять несколько преобразований?

Сначала всё, что меняет аргумент (сжатие, затем сдвиг), потом всё, что меняет значение (растяжение, затем подъём). Для $y = A f (k (x - a)) + b$ порядок: сжатие $k$ , сдвиг $a$ , амплитуда $A$ , подъём $b$ . Двигая точку за точкой, легко проверить себя: возьмите опорную точку базового графика и проведите её через все преобразования.