📈 Матанализ

Построение графика y = A·sin(kx + φ) + b

Q: Как не перепутать направление сдвига?

Приведите аргумент к виду $k(x - x_0)$: у $\sin(2x - \tfrac{\pi}{2})$ это $2(x - \tfrac{\pi}{4})$ — старт в $+\tfrac{\pi}{4}$, волна уехала вправо. Форма $k(x - x_0)$ обрабатывается без правил о знаках: что вычтено из $x$, то и есть координата старта.

англ. Plotting a sine wave

Четыре ручки волны: период 2π/|k|, сдвиг −φ/k, амплитуда |A|, средний уровень b; по ним ставятся опорные точки без таблицы значений.

График $y = A sin (k x + φ) + b$ строится по четырём параметрам без таблицы значений. Шаг 1 — период $T = \frac{2 π}{∣ k ∣}$ : волна укладывается в этот отрезок. Шаг 2 — сдвиг: волна стартует там, где $k x + φ = 0$ , то есть в $x_{0} = - \frac{φ}{k}$ . Шаг 3 — амплитуда $∣ A ∣$ : волна гуляет от $b - ∣ A ∣$ до $b + ∣ A ∣$ . Шаг 4 — средний уровень $b$ : центр волны. Пять опорных точек одного периода: старт $b$ , вершина $b + ∣ A ∣$ через $\frac{T}{4}$ , возврат $b$ , дно $b - ∣ A ∣$ , снова $b$ .

Пример: $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$ . Период $π$ ; старт в $x_{0} = \frac{π}{4}$ ; амплитуда $3$ ; коридор от $- 2$ до $4$ . Опорные точки: $x = \frac{π}{4}$ — значение $1$ ; $x = \frac{π}{2}$ — вершина $4$ ; $x = \frac{3 π}{4}$ — снова $1$ ; $x = π$ — дно $- 2$ ; $x = \frac{5 π}{4}$ — возврат $1$ . Плавная волна через пять точек, повторить влево-вправо. Контроль сдвига: $2 x - \frac{π}{2} = 2 (x - \frac{π}{4})$ — запись $k (x - x_{0})$ сразу показывает старт, и её стоит приводить всегда. Смысл параметров — в амплитуде и сдвиге фазы; сама кривая — в синусоиде.

T = \frac{2 π}{∣ k ∣}; x_{0} = - \frac{φ}{k}; коридор : [b - ∣ A ∣; b + ∣ A ∣]

период, старт и вертикальный коридор волны

Частые вопросы

Как не перепутать направление сдвига?

Приведите аргумент к виду $k (x - x_{0})$ : у $sin (2 x - \frac{π}{2})$ это $2 (x - \frac{π}{4})$ — старт в $+ \frac{π}{4}$ , волна уехала вправо. Форма $k (x - x_{0})$ обрабатывается без правил о знаках: что вычтено из $x$ , то и есть координата старта.

Зачем пять опорных точек, если можно по таблице?

Потому что при сдвиге и сжатии табличные значения попадают на «некрасивые» $x$ , и таблица вместо помощи мешает. Пять точек в системе волны (старт, вершина, середина, дно, конец) зависят только от четырёх параметров и считаются в уме — это быстрее и устойчивее к ошибкам, чем перенос значений через преобразования.