📈 Матанализ

Сдвиг фазы

Q: Почему плюс в фазе сдвигает график влево?

Потому что волна достигает значения раньше: событие $kx + \varphi = \tfrac{\pi}{2}$ происходит при $x = \tfrac{\tfrac{\pi}{2} - \varphi}{k}$ — меньше, чем без сдвига. График «спешит» — выглядит сдвинутым влево. Правило противоположно ожиданию многих: плюс внутри аргумента — влево, минус — вправо.

Q: Как найти фазу суммы sin x и cos x?

Свёрните в один синус: $\sin x + \cos x = \sqrt2\sin(x + \tfrac{\pi}{4})$, потому что оба коэффициента равны и $\cos\varphi = \sin\varphi = \tfrac{\sqrt2}{2}$ даёт $\varphi = \tfrac{\pi}{4}$. Общий приём — [вспомогательный угол](/reshately/trigonometricheskie-uravneniya/vspomogatelnyj-ugol/): фаза ищется из пары коэффициентов.

англ. Phase shift

Горизонтальный сдвиг волны: слагаемое φ в y = A·sin(kx + φ); волна начинается раньше на φ/k единиц — фаза отвечает на вопрос «в какой точке цикла стартовали».

Фаза — положение волны по горизонтали: в записи $y = A sin (k x + φ)$ слагаемое $φ$ называется начальной фазой, а всё выражение $k x + φ$ — мгновенной фазой. Положительная $φ$ сдвигает волну влево: $sin (x + \frac{π}{2})$ — это косинус, волна, стартовавшая с вершины. Отрицательная — вправо. Сдвиг в единицах $x$ равен $- \frac{φ}{k}$ : частота $k$ масштабирует и фазовый сдвиг тоже.

Смысл фазы — «в какой точке цикла мы находимся»: две розетки в доме дают напряжения со сдвигом фазы (в трёхфазной сети — ровно $\frac{2 π}{3}$ ), два маятника, запущенные с задержкой, колеблются с разностью фаз. В уравнениях фаза появляется после свёртки: $sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ — начальная фаза $\frac{π}{4}$ считана из коэффициентов (см. метод вспомогательного угла). При построении графика порядок такой: сдвиг $- \frac{φ}{k}$ , затем период $\frac{2 π}{k}$ , затем амплитуда — см. построение синусоиды.

y = A sin (k x + φ); сдвиг по x = - \frac{φ}{k}; sin (x + \frac{π}{2}) = cos x

фаза в записи волны, пересчёт в единицы x и знаменитый пример

Частые вопросы

Почему плюс в фазе сдвигает график влево?

Потому что волна достигает значения раньше: событие $k x + φ = \frac{π}{2}$ происходит при $x = \frac{\frac{π}{2} - φ}{k}$ — меньше, чем без сдвига. График «спешит» — выглядит сдвинутым влево. Правило противоположно ожиданию многих: плюс внутри аргумента — влево, минус — вправо.

Как найти фазу суммы sin x и cos x?

Свёрните в один синус: $sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ , потому что оба коэффициента равны и $cos φ = sin φ = \frac{2}{2}$ даёт $φ = \frac{π}{4}$ . Общий приём — вспомогательный угол: фаза ищется из пары коэффициентов.