📈 Матанализ

Период тригонометрических функций

Q: Как найти период суммы sin 2x и cos x?

Периоды слагаемых $\pi$ и $2\pi$. Общий период должен быть кратен обоим — наименьшее общее кратное $2\pi$. Проверка: $\sin(2(x + 2\pi)) = \sin 2x$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ — сумма повторилась. А вот $\pi$ не подойдёт: косинус на полупериоде меняет знак. Ответ: $T = 2\pi$.

англ. Period of trigonometric functions

Наименьший положительный период синуса, косинуса, секанса и косеканса равен 2π, тангенса и котангенса — π; у k·sin(bx) период делится на |b|.

Период — наименьшее положительное число $T$ , при котором $f (x + T) = f (x)$ для всех $x$ . У синуса и косинуса $T = 2 π$ : полный оборот по единичной окружности возвращает и ординату, и абсциссу. У тангенса и котангенса период вдвое короче, $T = π$ , — точка и её диаметральная противоположность дают одинаковые отношения координат. При умножении аргумента период сжимается: у $sin 3 x$ период $\frac{2 π}{3}$ — три полных волны умещаются в один оборот.

Знание периода — половина ответа в тригонометрических уравнениях: серии корней пишутся именно как угол плюс $2 π n$ или $π k$ . Ошибка в периоде меняет множество корней: у синуса соседние решения чередуются через $π$ (две точки на окружности), поэтому в серии $(- 1)^{k} arcsin a + π k$ стоит $π$ , а не $2 π$ . Для суммы функций период ищется как НОК периодов слагаемых: у $sin 2 x + cos 3 x$ общий период $2 π$ , ведь $\frac{2 π}{2}$ и $\frac{2 π}{3}$ оба укладываются в него целое число раз. Серии корней и отбор — на странице простейшие тригонометрические уравнения.

T_{s i n} = T_{c o s} = 2 π; T_{tg} = T_{ctg} = π; T_{s i n b x} = \frac{2 π}{∣ b ∣}

периоды основных функций; сжатие аргумента делит период

Частые вопросы

Почему у тангенса период π, а не 2π?

Тангенс — отношение ординаты к абсциссе. При повороте на пол-оборота обе координаты меняют знак, и их отношение не меняется: $\frac{- y}{- x} = \frac{y}{x}$ . Значит, $tg (x + π) = tg x$ — достаточно полуоборота. Синус при этом меняет знак, поэтому ему нужен полный оборот $2 π$ .

Как найти период суммы sin 2x и cos x?

Периоды слагаемых $π$ и $2 π$ . Общий период должен быть кратен обоим — наименьшее общее кратное $2 π$ . Проверка: $sin (2 (x + 2 π)) = sin 2 x$ и $cos (x + 2 π) = cos x$ — сумма повторилась. А вот $π$ не подойдёт: косинус на полупериоде меняет знак. Ответ: $T = 2 π$ .