📈 Матанализ

Периодичность функции

Q: Вся ли периодическая функция имеет наименьший период?

Нет. Постоянная функция удовлетворяет $f(x + T) = f(x)$ при любом $T$, и наименьшего положительного нет. Аналогичный нюанс у функции Дирихле, равной единице в рациональных точках и нулю в иррациональных: любое рациональное $T$ — период. Поэтому в определении и уточняют «наименьший положительный период, если существует».

Q: Как найти период суммы sin 3x и cos 5x?

Периоды слагаемых $\tfrac{2\pi}{3}$ и $\tfrac{2\pi}{5}$. Общий период обязан быть целым кратным каждого: подходят $2\pi$, $4\pi$, $6\pi$ и так далее, ведь $2\pi / \tfrac{2\pi}{3} = 3$ и $2\pi / \tfrac{2\pi}{5} = 5$ — целые. Наименьший из кандидатов — $2\pi$. Меньшие значения не проходят проверку: например, $\tfrac{2\pi}{15}$ делится на $\tfrac{2\pi}{3}$ лишь с результатом $\tfrac15$ — не целое, значит сумме такой период не подходит. Итог: $T = 2\pi$.

англ. Periodicity of a function

Свойство f(x + T) = f(x) при некотором наименьшем T > 0: график повторяется через равные промежутки — синусоиды, тангенсоида, пила и импульсы.

Функция периодична, если существует $T > 0$ такое, что $f (x + T) = f (x)$ для всех $x$ из области определения; наименьшее такое $T$ — период. Периодичность означает, что достаточно знать функцию на одном отрезке длиной $T$ — остальной график получается сдвигами. Классика: синус и косинус с $T = 2 π$ , тангенс с $T = π$ (подробности в термине период тригонометрических функций). В технике периодические функции описывают колебания: сеть даёт синусоиду $50$ Гц с периодом $0, 02$ секунды.

Полезные свойства периодов: сумма периодических функций с соизмеримыми периодами периодична с НОК периодов; умножение аргумента на число делит период; сложение константы ничего не меняет. Нюанс, который путают: у постоянной функции каждое $T$ подходит, поэтому наименьшего положительного периода нет — её считают периодичной без периода. Периодичность помогает в уравнениях: решения повторяются, и достаточно исследовать один период — отсюда серии корней в простейших тригонометрических уравнениях.

f (x + T) = f (x) \forall x; T_{f (k x)} = \frac{T _{f}}{∣ k ∣}; T_{s i n 2 x + c o s x} = 2 π

определение; сжатие аргумента; наименьшее общее кратное периодов суммы

Частые вопросы

Вся ли периодическая функция имеет наименьший период?

Нет. Постоянная функция удовлетворяет $f (x + T) = f (x)$ при любом $T$ , и наименьшего положительного нет. Аналогичный нюанс у функции Дирихле, равной единице в рациональных точках и нулю в иррациональных: любое рациональное $T$ — период. Поэтому в определении и уточняют «наименьший положительный период, если существует».

Как найти период суммы sin 3x и cos 5x?

Периоды слагаемых $\frac{2 π}{3}$ и $\frac{2 π}{5}$ . Общий период обязан быть целым кратным каждого: подходят $2 π$ , $4 π$ , $6 π$ и так далее, ведь $2 π / \frac{2 π}{3} = 3$ и $2 π / \frac{2 π}{5} = 5$ — целые. Наименьший из кандидатов — $2 π$ . Меньшие значения не проходят проверку: например, $\frac{2 π}{15}$ делится на $\frac{2 π}{3}$ лишь с результатом $\frac{1}{5}$ — не целое, значит сумме такой период не подходит. Итог: $T = 2 π$ .