📈 Матанализ

График косинуса

Q: Где у косинуса максимумы и минимумы?

Максимум $1$ — в точках $2\pi n$ (включая ноль), минимум $-1$ — в $\pi + 2\pi n$. Между ними нули в $\tfrac{\pi}{2} + \pi k$. Порядок внутри периода: максимум, ноль, минимум, ноль, максимум — каждая четверть оборота переключает состояние.

Q: Как по графику косинуса найти решения уравнения cos x = 0,5?

Проведите горизонтальную прямую $y = 0{,}5$: она пересекает волну дважды за период — в $\tfrac{\pi}{3}$ и $-\tfrac{\pi}{3}$. Полное множество — эти точки плюс целые обороты: $x = \pm\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n$. График наглядно объясняет, откуда в серии берётся «минус-плюс».

англ. Cosine graph

Косинусоида: волна y = cos x, стартующая с максимума 1 в нуле, с нулями в π/2 + πk и периодом 2π; чётная, симметричная относительно оси y.

График $y = cos x$ — косинусоида: та же волна, что у синуса, но стартующая с вершины. Опорные точки периода: максимум $1$ в $0$ , нули в $\pm \frac{π}{2}$ , минимум $- 1$ в $π$ , снова максимум к $2 π$ . Функция чётна — график симметричен относительно оси ординат, что резко экономит построение: левая половина — зеркало правой. Связь с синусом сдвиговая: $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ — косинусоида это синусоида, сдвинутая на четверть периода влево.

Практическое отличие проявляется в задачах с начальными условиями: косинус описывает колебание, стартующее из крайней точки (маятник отвели и отпустили), синус — из положения равновесия (толкнули из центра). В уравнениях $cos x = a$ нули графика в $\frac{π}{2} + π k$ объясняют форму серии $\pm arccos a + 2 π n$ : две точки решения симметричны относительно нуля (см. простейшие тригонометрические уравнения). Тождество $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ геометрически означает: в каждой точке сумма квадратов координат волны равна единице.

cos 0 = 1; cos (\frac{π}{2} + π k) = 0; cos x = sin (x + \frac{π}{2})

старт с максимума, нули раз в полпериода, сдвиговая связь с синусом

Частые вопросы

Где у косинуса максимумы и минимумы?

Максимум $1$ — в точках $2 π n$ (включая ноль), минимум $- 1$ — в $π + 2 π n$ . Между ними нули в $\frac{π}{2} + π k$ . Порядок внутри периода: максимум, ноль, минимум, ноль, максимум — каждая четверть оборота переключает состояние.

Как по графику косинуса найти решения уравнения cos x = 0,5?

Проведите горизонтальную прямую $y = 0, 5$ : она пересекает волну дважды за период — в $\frac{π}{3}$ и $- \frac{π}{3}$ . Полное множество — эти точки плюс целые обороты: $x = \pm \frac{π}{3} + 2 π n$ . График наглядно объясняет, откуда в серии берётся «минус-плюс».