📈 Матанализ

Амплитуда колебаний

Q: Почему амплитуда суммы равна корню из суммы квадратов?

Потому что $a\sin x + b\cos x$ сворачивается в $R\sin(x + \varphi)$, где $\cos\varphi = \tfrac{a}{R}$ и $\sin\varphi = \tfrac{b}{R}$. Пара косинус-квадрат плюс синус-квадрат обязана дать единицу, откуда $\tfrac{a^2 + b^2}{R^2} = 1$ и $R = \sqrt{a^2+b^2}$ — Пифагор в действии.

англ. Amplitude of oscillation

Максимальное отклонение колебания от положения равновесия: модуль коэффициента A в y = A·sin(kx + φ) + b; для a·sin x + b·cos x равна √(a²+b²).

Амплитуда — размах колебания: максимальное отклонение от среднего уровня. Для записи $y = A sin (k x + φ) + b$ амплитуда равна $∣ A ∣$ : волна гуляет от $b - ∣ A ∣$ до $b + ∣ A ∣$ . Для смешанной формы $a sin x + b cos x$ амплитуда неочевидна из коэффициентов — она равна $a^{2} + b^{2}$ : суммой двух колебаний одной частоты управляет теорема Пифагора. Пример: $3 sin x + 4 cos x$ гуляет ровно от $- 5$ до $5$ — $9 + 16 = 5$ .

Прикладные амплитуды осязаемы: напряжение в розетке $220$ В — это действующее значение, а амплитуда синуса равна $2202 \approx 311$ В; звук громкостью в два раза «по амплитуде» на слух громче лишь ненамного — ухо слышит логарифмически, отсюда децибелы. В уравнениях амплитуда — критерий существования корней: уравнение $a sin x + b cos x = c$ разрешимо только при $∣ c ∣ \leq a^{2} + b^{2}$ , и решатель применяет эту проверку первой — см. метод вспомогательного угла.

y = A sin (k x + φ) + b \Rightarrow амплитуда ∣ A ∣; a sin x + b cos x \Rightarrow R = a^{2} + b^{2}

амплитуда в явной и смешанной записи

Частые вопросы

Чем амплитуда отличается от размаха?

Вдвое. Амплитуда — отклонение от среднего уровня в одну сторону; размах — расстояние между наибольшим и наименьшим значениями. У волны $3 sin x$ размах равен шести, амплитуда — трём. В инженерных таблицах всегда уточняйте, какая из величин указана: путаница стоит удвоения ошибки.

Почему амплитуда суммы равна корню из суммы квадратов?

Потому что $a sin x + b cos x$ сворачивается в $R sin (x + φ)$ , где $cos φ = \frac{a}{R}$ и $sin φ = \frac{b}{R}$ . Пара косинус-квадрат плюс синус-квадрат обязана дать единицу, откуда $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{R ^{2}} = 1$ и $R = a^{2} + b^{2}$ — Пифагор в действии.