📈 Матанализ

Частные производные второго порядка

англ. Second-order partial derivatives

Производные от частных производных: z″ₓₓ, z″ᵧᵧ и смешанные z″ₓᵧ, z″ᵧₓ. Смешанные производные непрерывной функции равны между собой — теорема Шварца; из них собирается оператор Лапласа и критерий экстремума.

Частные производные второго порядка — производные от частных производных: $f_{xx}^{''} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}}$ , $f_{x y}^{''} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x})$ и симметрично по $y$ . Порядок чтения индексов — справа налево: сначала дифференцируем по $x$ , потом по $y$ . Производных четыре, но для дважды непрерывно дифференцируемых функций смешанные совпадают: $f_{x y}^{''} = f_{y x}^{''}$ — теорема Шварца, экономящая половину вычислений. Базовое дифференцирование освежается в терминах частная производная, высшие порядки одной переменной — в уроке производные высших порядков.

Пример: $z = x^{3} y^{2}$ . Первые производные: $z_{x}^{'} = 3 x^{2} y^{2}$ , $z_{y}^{'} = 2 x^{3} y$ . Вторые: $z_{xx}^{''} = 6 x y^{2}$ , $z_{y y}^{''} = 2 x^{3}$ , а смешанные $z_{x y}^{''} = 6 x^{2} y$ и $z_{y x}^{''} = 6 x^{2} y$ сошлись, как и обещал Шварц. Диагональная сумма $Δ f = f_{xx}^{''} + f_{y y}^{''}$ — оператор Лапласа, мера выгнутости рельефа сразу по обеим осям: для $f = x^{2} + y^{2}$ выходит $2 + 2 = 4 > 0$ — чаша, точка ниже окрестностей. В физике на этом операторе стоят уравнения теплопроводности, волновое и Лапласа: см. урок уравнение теплопроводности и термин оператор Лапласа.

Практическая сцена применения — критерий экстремума функции двух переменных: стационарные точки проверяются величиной $D = f_{xx}^{''} f_{y y}^{''} - (f_{x y}^{''})^{2}$ , целиком собранной из вторых производных. Без вторых производных не появились бы кривизна кривой, ускорение траектории и разностные шаблоны численных методов. Порядок дифференцирования при вычислении выбирают по удобству: иногда $f_{y x}^{''}$ разворачивается одной строкой там, где $f_{x y}^{''}$ требует страницы — равенство Шварца позволяет брать лёгкий путь. Смежные темы — функции нескольких переменных и экстремум.

f_{x y}^{''} = f_{y x}^{''}, Δ f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}

равенство смешанных производных при непрерывности и оператор Лапласа — диагональная сумма вторых производных

Частые вопросы

Всегда ли смешанные производные равны?

При непрерывности самих вторых производных — да; контрпримеры существуют на границе гладкости: для $f (x, y) = \frac{x y ( x ^{2} - y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}}$ с доопределением нулём в начале координат выходит $f_{x y}^{''} (0) = 1$ и $f_{y x}^{''} (0) = - 1$ . Причина — разрыв вторых производных в нуле. В учебных задачах функции гладкие, и несовпадение смешанных производных — верный сигнал арифметической ошибки.

Что даёт оператор Лапласа?

Сумму вторых производных — грубую меру того, ниже ли точка своих окрестностей. Для $f = x^{2} + y^{2}$ получается $Δ f = 4 > 0$ : чаша, дно в начале координат; для $f = - (x^{2} + y^{2})$ — вершина; для $f = x^{2} - y^{2}$ нуль при седловом рельефе. В физике $Δ$ входит в уравнения теплопроводности, волновое и Лапласа — см. термин оператор Лапласа.

пошагово

Решатель производных

Взять вторую производную по шагам

Вторая частная производная — производная дважды по одной переменной при зафиксированной другой: решатель покажет оба прохода.

Открыть решатель