📈 Матанализ

Логарифмическая функция

англ. Logarithmic function

Функция y = log_a x, обратная показательной: определена при x > 0, растёт при a > 1 и убывает при 0 < a < 1, проходит через точку (1; 0).

Логарифмическая функция $y = lo g_{a} x$ — зеркало показательной: она спрашивает, в какую степень надо возвести $a$ , чтобы получить $x$ . График симметричен экспоненте относительно прямой $y = x$ : та же точка $(1; 0)$ вместо $(0; 1)$ , та же монотонность, но вертикальная асимптота стоит на оси ординат — при $x \to 0^{+}$ логарифм уходит в $- \infty$ для $a > 1$ . Определена функция только при положительном аргументе, и это не прихоть записи, а прямое следствие монотонности показательной: $a^{t}$ никогда не бывает отрицательным или нулём.

Скорость роста логарифма — противоположность экспоненте: он растёт медленнее любой положительной степени. Между $lo g_{2} 1000 \approx 10$ и $lo g_{2} 1000000 \approx 20$ — миллионная пропасть значений аргумента сжалась в разницу на десять. Именно поэтому логарифмическая шкала живёт там, где диапазон величин огромен: децибелы в акустике, шкала Рихтера в сейсмологии, кислотность pH в химии. Свойства функции и работа с уравнениями собраны в шпаргалке логарифмы и степени, а пошаговое решение уравнений с логарифмами — в решателе логарифмических уравнений.

y = lo g_{a} x ⟺ a^{y} = x, x > 0, a > 0, a \neq = 1

определение через показательную форму; область определения строго положительна

Частые вопросы

Почему log(-5) не существует?

Логарифм ищет степень, в которую надо возвести положительное основание, чтобы получить минус пять. Но любая степень положительного числа положительна: $a^{t} > 0$ при всех действительных $t$ . Значит, уравнение $a^{t} = - 5$ не имеет решений, и логарифм отрицательного числа не определён — отсюда и требование $x > 0$ в ОДЗ всех логарифмических уравнений.

Как по графику отличить log₂x от log₁/₂x?

По направлению монотонности и по знаку. Основание два больше единицы — функция растёт, значения при $x > 1$ положительны. Основание одна вторая лежит между нулём и единицей — функция убывает и при $x > 1$ даёт минус: $lo g_{1/2} 2 = - 1$ . Графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс.