📈 Матанализ

Переход к новому основанию логарифма

Q: Какое основание выбрать при переходе?

То, которое упрощает выражение. В расчётах — натуральный $\ln$: он есть в любом калькуляторе и согласован с производной. В задачниках с целыми основаниями — наименьшее из них: логарифмы по двум, четырём и восьми красиво выражаются через $\log_2$, потому что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$, и множители получаются целыми $\tfrac12$ и $\tfrac13$.

англ. Change of base formula

Формула log_b a = log_c a / log_c b: любой логарифм выражается через логарифмы произвольного удобного основания, чаще натурального.

Формула перехода $lo g_{b} a = \frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b}$ сводит логарифм по любому основанию к логарифмам по удобному. Проверка на числах: $lo g_{8} 16 = \frac{l g 16}{l g 8} = \frac{4 l g 2}{3 l g 2} = \frac{4}{3}$ — и в самом деле, $8^{4/3} = (2^{3})^{4/3} = 2^{4} = 16$ . Калькулятор с единственной кнопкой $ln$ покрывает все основания сразу — так формула экономит целые таблицы.

Два следствия формулы работают в уравнениях как приёмы. Первое: $lo g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a}$ — перестановка аргумента и основания переворачивает дробь. Второе: приведение разносновных логарифмов к одному основанию перед потенцированием: $lo g_{2} x = lo g_{4} 9$ превращается в $lo g_{2} x = \frac{l o g _{2} 9}{l o g _{2} 4} = \frac{l o g _{2} 9}{2}$ , то есть $lo g_{2} x = lo g_{2} 3$ , откуда $x = 3$ . Все свойства с примерами собраны в шпаргалке логарифмов и степеней.

lo g_{b} a = \frac{lo g _{c} a}{lo g _{c} b}; lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}; lo g_{a^{n}} a^{m} = \frac{m}{n}

формула перехода и два практических следствия

Частые вопросы

Какое основание выбрать при переходе?

То, которое упрощает выражение. В расчётах — натуральный $ln$ : он есть в любом калькуляторе и согласован с производной. В задачниках с целыми основаниями — наименьшее из них: логарифмы по двум, четырём и восьми красиво выражаются через $lo g_{2}$ , потому что $4 = 2^{2}$ и $8 = 2^{3}$ , и множители получаются целыми $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

Почему нельзя переходить к основанию, равному единице?

Потому что основания единица и ноль запрещены самим определением логарифма: $1^{t} = 1$ при любом $t$ , функция не инъективна и обратной у неё нет. В формуле перехода знаменатель $lo g_{c} b$ при $b = 1$ обращается в ноль — деление теряет смысл, что согласуется с запретом определения.