📈 Матанализ

Десятичный логарифм

Q: Чем lg отличается от log без указания основания?

Зависит от контекста. В школьной алгебре и инженерии $\log x$ обычно означает десятичный; в высшей математике и программировании — натуральный или двоичный. Безопасная практика: писать основание явно — $\lg$, $\ln$, $\log_2$, — тогда путаница исключена. В формулах перехода к новому основанию любая пара оснований сводится друг к другу множителем.

англ. Common logarithm

Логарифм по основанию 10, обозначается lg x или log x; целая часть lg числа равна числу цифр минус один, что сделало его основой логарифмических шкал.

Десятичный логарифм $l g x = lo g_{10} x$ исторически первый удобный логарифм: он привязан к позиционной записи числа. Целая часть $l g$ называется характеристикой и равна количеству цифр минус один: $l g 347 \approx 2, 54$ — двойка видна прямо из трёх цифр. Дробная часть — мантисса — зависит только от порядка значащих цифр, поэтому таблицы логарифмов Навье и Бригга умещались в один лист на все числа от единицы до бесконечности. До калькуляторов это был главный вычислительный инструмент астрономии и навигации.

Опорные значения держат ориентацию: $l g 1 = 0$ , $l g 10 = 1$ , $l g 100 = 2$ , $l g 2 \approx 0, 301$ и $l g 5 = 1 - l g 2 \approx 0, 699$ . Отсюда быстрые оценки: $l g 200 = l g 2 + l g 100 \approx 2, 301$ . Связь с натуральным: $l g x = ln x / ln 10 \approx 0, 4343 ln x$ . Децибелы и pH построены именно на десятке: +20 дБ означает рост величины в сто раз, ведь $20 l g 100 = 40$ … точнее, $l g 100 = 2$ , и каждые +20 дБ — множитель сто. Свойства логарифмов с примерами — в шпаргалке логарифмов и степеней.

l g x = lo g_{10} x, l g 1 0^{n} = n, l g x = \frac{ln x}{ln 10} \approx 0, 4343 ln x

определение; целые степени десяти дают целые логарифмы; перевод в натуральный

Частые вопросы

Чем lg отличается от log без указания основания?

Зависит от контекста. В школьной алгебре и инженерии $lo g x$ обычно означает десятичный; в высшей математике и программировании — натуральный или двоичный. Безопасная практика: писать основание явно — $l g$ , $ln$ , $lo g_{2}$ , — тогда путаница исключена. В формулах перехода к новому основанию любая пара оснований сводится друг к другу множителем.

Как оценить lg числа без калькулятора?

Разбейте число на степень десяти и множитель от единицы до десяти: $l g 6400 = l g (6, 4 \cdot 1 0^{3}) = 3 + l g 6, 4$ . Поскольку $l g 6, 4$ лежит между $l g 5 \approx 0, 699$ и $l g 10 = 1$ , ответ примерно $3, 7$ – $3, 8$ ; точно $l g 6400 = 3 + 2 l g 8 \approx 3, 806$ . Достаточно помнить $l g 2$ и $l g 3$ .