📈 Матанализ

Логарифмическое неравенство

Q: Почему ОДЗ здесь важнее, чем в обычных неравенствах?

Потому что логарифм определён не всюду: аргумент обязан быть строго положительным. Решение, полученное без ОДЗ, может включать точки, где неравенство не имеет смысла, — и оно неверно целиком, а не частично. Привычка: сначала ограничения, потом потенцирование, в конце пересечение.

Q: Как решать неравенство log_a x + log_a (x−2) < 1?

Свернуть сумму в логарифм произведения: $\log_a x(x-2) 2$. Сумма логарифмов требует положительности обоих аргументов, а не только произведения.

англ. Logarithmic inequality

Неравенство с логарифмом: ОДЗ обязательна, при a > 1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 переворачивается.

Логарифмическое неравенство вида $lo g_{a} f (x) > b$ решается потенцированием — переходом к сравнению аргументов. Обязательные ограничения: аргумент строго положителен, основание положительно и не равно единице — это ОДЗ, которая проверяется до всего остального. Дальше монотонность: при $a > 1$ знак сохраняется, при $0 < a < 1$ переворачивается.

Пример: $lo g_{2} (x - 1) > 3$ . ОДЗ: $x > 1$ . Потенцируем: $x - 1 > 8$ , то есть $x > 9$ . Пересечение с ОДЗ даёт $x \in (9; + \infty)$ . Если бы основание было $\frac{1}{2}$ , знак перевернулся бы: $x - 1 < 8$ , и ответом стал бы $(1; 9)$ — ОДЗ отсекла левый край. Логика та же, что в показательных неравенствах: убывающая функция разворачивает порядок. Сложные случаи сводятся заменой $t = lo g_{a} x$ к рациональным неравенствам и методу интервалов.

a > 1 : lo g_{a} f > lo g_{a} g \Leftrightarrow f > g; 0 < a < 1 : lo g_{a} f > lo g_{a} g \Leftrightarrow f < g; f > 0, g > 0

потенцирование с учётом основания

Частые вопросы

Почему ОДЗ здесь важнее, чем в обычных неравенствах?

Потому что логарифм определён не всюду: аргумент обязан быть строго положительным. Решение, полученное без ОДЗ, может включать точки, где неравенство не имеет смысла, — и оно неверно целиком, а не частично. Привычка: сначала ограничения, потом потенцирование, в конце пересечение.

Как решать неравенство log_a x + log_a (x−2) < 1?

Свернуть сумму в логарифм произведения: $lo g_{a} x (x - 2) < 1$ , перейти к $x (x - 2) < a$ с учётом основания, и не забыть ОДЗ: $x > 2$ . Сумма логарифмов требует положительности обоих аргументов, а не только произведения.

пошагово

Решатель логарифмических уравнений

Разобраться с логарифмическим неравенством

ОДЗ и потенцирование с учётом основания: метод простейших логарифмических уравнений — фундамент для неравенств.

Открыть решатель