Простейшие логарифмические уравнения log_a x = b

Любая тема логарифмических уравнений начинается с одного шаблона: ${\log }_{a}x=b$. Найти $x$ — значит ответить на вопрос «в какую степень надо возвести $a$, чтобы получилось $x$». Простейшие уравнения встречаются и сами по себе — в контрольных и задании 6 ЕГЭ, — и как финальный шаг любого сложного уравнения: после замены или группировки длинная выкладка всё равно сворачивается к этому шаблону. Свой пример прогоните через решатель логарифмических уравнений и сверьте шаги.

Идея метода одной строкой#

Никаких приёмов не нужно: определение логарифма — это и есть метод. Уравнение ${\log }_{2}x=5$ спрашивает: двойка в какой степени даст $x$? Ответ $2^5=32$. Единственное место, где ошибаются чаще всего, — не вычисление, а область допустимых значений: аргумент логарифма обязан быть положительным, и найденный корень надо проверить именно этим условием.

Алгоритм: четыре шага#

1. 1
   Выпишите ОДЗ: аргумент логарифма строго больше нуля. Для шаблона ${\log }_{a}x=b$ это просто $x>0$.
2. 2
   Перейдите к показательной форме по определению: $x=a^b$.
3. 3
   Вычислите правую часть, при необходимости — через свойства степеней: $a^{-1}=\frac{1}{a}$, $a^{1/2}=\sqrt{a}$.
4. 4
   Проверьте корень по ОДЗ: он обязан быть положительным. Подстановка в исходное уравнение — второй рубеж контроля.

Три примера: обычный, дробный и с ловушкой#

Обычный: ${\log }_{3}x=4$. По определению $x=3^4=81$. Проверка: ${\log }_{3}81=4$ — верно, потому что $3^4=81$. Одна строка решения, но писать её надо полностью: на экзамене за голый ответ без перехода к показательной форме снимают баллы.

Дробный показатель: ${\log }_{16}x=\frac{3}{4}$. Тогда $x=16^{3/4}=(2^4{)}^{3/4}=2^3=8$. Приём с представлением основания в виде степени простого числа спасает и здесь, и в показательных уравнениях: шестнадцать — это две четвёртых степени, и дробный показатель ложится на неё без калькулятора.

А вот ловушка, на которой спотыкаются даже сильные ученики: ${\log }_2(x-3)=2$. Механика та же: $x-3=2^2=4$, значит $x=7$. Но ОДЗ теперь не «$x$ больше нуля», а «$x-3$ больше нуля», то есть $x>3$. Ответ семь проходит. Если бы правая часть была отрицательной — скажем, ${\log }_2(x-3)=-1$ даёт $x-3=\frac{1}{2}$, $x=3,5$ — корень всё равно прошёл бы. А вот уравнение ${\log }_5(x^2)=0$ даёт $x^2=1$, то есть $x=\pm 1$ — и оба корня легальны, ведь $x^2>0$ при любом ненулевом $x$. Мораль: ОДЗ выписывайте для того выражения, которое стоит под логарифмом, а не для голого $x$.

Частные случаи, которые полезно помнить#

Типовые ошибки#

• Приравнять основание к единице в ответе. Если при решении получилось ${\log }_{1}x=b$ — уравнение не имеет смысла, основание обязано отличаться от единицы.
• Забыть про отрицательные корни, спрятанные под квадратом. В ${\log }_5{x}^2=0$ корня два, $\pm 1$; ответ «только 1» — потеря половины решения.
• Вычислять $a^b$ по порядку слева направо в калькуляторе без скобок: $2^{1/2}$ надо вводить как $2\wedge (1÷2)$, иначе получите ${\sqrt{2}}^1$ в неожиданной записи.
• Потерять знак при отрицательном $b$: ${\log }_{3}x=-2$ даёт $x=\frac{1}{9}$, а не $-9$. Минус уходит в показатель, а не в результат.