📈 Матанализ

Показательное неравенство

Q: Почему при основании меньше единицы знак переворачивается?

Потому что $\left(\tfrac12\right)^x$ убывает: больший показатель даёт меньшее значение. $\left(\tfrac12\right)^1 = 0{,}5$ больше $\left(\tfrac12\right)^3 = 0{,}125$. Сравнение степеней с убывающим основанием — это сравнение показателей наоборот.

Q: Что делать с основанием-переменной или основанием-параметром?

Разбирать по знаку основания: для $a > 1$ и $0 < a < 1$ ответы зеркальны, при $a \le 0$ показательная функция не определена для дробных показателей. Задачи с параметром требуют всех трёх ветвей — это классический экзаменационный сюжет.

англ. Exponential inequality

Неравенство с переменной в показателе: при a > 1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 переворачивается.

Показательное неравенство имеет переменную в показателе: $2^{x} > 8$ или $(\frac{1}{2})^{x} < 4$ . Метод — сведение к сравнению показателей: привести обе части к одному основанию, дальше всё решает монотонность показательной функции. При основании больше единицы функция растёт — знак сохраняется: $2^{x} > 2^{3}$ даёт $x > 3$ . При основании между нулём и единицей функция убывает — знак переворачивается: $(\frac{1}{2})^{x} < (\frac{1}{2})^{2}$ даёт $x > 2$ .

Переворот знака при $0 < a < 1$ — та же логика, что и деление на отрицательное число: убывающая функция разворачивает порядок аргументов. Нетабличные основания решаются логарифмированием с учётом знака основания. Соседняя тема — показательные уравнения: движок уравнений объясняет монотонность, которая здесь определяет судьбу знака. Свой пример: решатель неравенств пока закрывает линейный и квадратный случаи, показательные разобраны в методах уравнений.

a > 1 : a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v; 0 < a < 1 : a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v

монотонность решает всё

Частые вопросы

Почему при основании меньше единицы знак переворачивается?

Потому что $(\frac{1}{2})^{x}$ убывает: больший показатель даёт меньшее значение. $(\frac{1}{2})^{1} = 0, 5$ больше $(\frac{1}{2})^{3} = 0, 125$ . Сравнение степеней с убывающим основанием — это сравнение показателей наоборот.

Что делать с основанием-переменной или основанием-параметром?

Разбирать по знаку основания: для $a > 1$ и $0 < a < 1$ ответы зеркальны, при $a \leq 0$ показательная функция не определена для дробных показателей. Задачи с параметром требуют всех трёх ветвей — это классический экзаменационный сюжет.

пошагово

Сравнить степени и решить неравенство

Монотонность показательной функции определяет знак ответа: разбор простейших уравнений объясняет правило для обоих оснований.

Открыть решатель