📈 Матанализ

Показательная функция

Q: Чем показательная функция отличается от степенной?

Переменная стоит в разных местах. В показательной $y = 2^x$ основание фиксировано, а степень меняется; в степенной $y = x^2$ наоборот — степень фиксирована, меняется основание. Отсюда и разный характер роста: $x^2$ растёт полиномиально, $2^x$ — экспоненциально, и после $x \approx 10$ показательная функция уходит в отрыв навсегда: $2^{10} = 1024$ против $100$.

Q: Почему у графика y = a^x есть асимптота, а у y = x^2 нет?

Показательная функция никогда не обращается в ноль и не меняет знак: при $x \to -\infty$ значение $a^x$ стремится к нулю, оставаясь положительным, — график прижимается к оси абсцисс, но не касается её. Парабола же честно пересекает ось и уходит в минус. Именно поэтому уравнение $a^x = 0$ решений не имеет ни при каком основании.

англ. Exponential function

Функция y = a^x с фиксированным основанием a > 0, a ≠ 1: всегда положительна, строго монотонна и растёт быстрее любой степени при больших x.

Показательная функция $y = a^{x}$ отвечает на вопрос «что будет, если возводить фиксированное число в переменную степень». При $a > 1$ функция строго растёт, при $0 < a < 1$ строго убывает, но в обоих случаях график проходит через точку $(0; 1)$ — любое основание в нулевой степени даёт единицу. Ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой: значение функции положительно всегда. Разница между соседними основаниями осязаема: $2^{10} = 1024$ , а $3^{10} \approx 59049$ — основание сильнее любой привычной интуиции о «немного большем числе».

Почему основание обязано быть положительным и не равным единице? При $a = 1$ получилась бы константа, а при отрицательном $a$ степень $(- 2)^{1/2}$ не определена для дробных показателей. Скорость роста — фирменный знак экспоненты: вклад под $10%$ в год удваивается за семь лет ( $1, 1^{7} \approx 1, 95$ ), а радиоактивный распад уменьшает массу вдвое за фиксированный период полураспада. Обратная к показательной — логарифмическая функция, см. термин логарифм; уравнения вида $a^{x} = b$ решаются в материале показательное уравнение.

y = a^{x}, a > 0, a \neq = 1; a^{0} = 1, a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}

определение и базовые свойства; график всегда выше оси x и монотонен

Частые вопросы

Чем показательная функция отличается от степенной?

Переменная стоит в разных местах. В показательной $y = 2^{x}$ основание фиксировано, а степень меняется; в степенной $y = x^{2}$ наоборот — степень фиксирована, меняется основание. Отсюда и разный характер роста: $x^{2}$ растёт полиномиально, $2^{x}$ — экспоненциально, и после $x \approx 10$ показательная функция уходит в отрыв навсегда: $2^{10} = 1024$ против $100$ .

Почему у графика y = a^x есть асимптота, а у y = x^2 нет?

Показательная функция никогда не обращается в ноль и не меняет знак: при $x \to - \infty$ значение $a^{x}$ стремится к нулю, оставаясь положительным, — график прижимается к оси абсцисс, но не касается её. Парабола же честно пересекает ось и уходит в минус. Именно поэтому уравнение $a^{x} = 0$ решений не имеет ни при каком основании.

пошагово

Порешать показательные уравнения

Монотонность и положительность a^x — то, на чём держится отбор корней: решатель применяет это в каждом шаге.

Открыть решатель