📈 Матанализ

Основное логарифмическое тождество

Q: Почему в тождестве требуется x > 0?

Потому что слева стоит логарифм $\log_a x$, который определён только при положительном аргументе. При $x \le 0$ левая часть не существует — не то что равна $x$. Зато если слагаемое выглядит как $a^{\log_a(\text{выражение})}$, выражение под логарифмом обязано быть положительным — это готовая строчка ОДЗ для уравнения.

Q: Как вычислить 5^(2 log₅ 3) без калькулятора?

Сначала внесите двойку: $5^{2\log_5 3} = 5^{\log_5 9}$ по свойству степени степени, затем примените тождество — получите $9$. Альтернативный путь: $5^{\log_5 3} = 3$, а $5^{2\log_5 3} = (5^{\log_5 3})^2 = 3^2 = 9$. Оба пути — комбинация тождества и свойств степени.

англ. Fundamental logarithmic identity

Равенство a^(log_a x) = x: возведение основания в логарифм возвращает исходное число — прямое следствие определения логарифма.

Основное логарифмическое тождество $a^{l o g_{a} x} = x$ — самое частое преобразование в логарифмических задачах. Смысл прямой: логарифм спрашивает «в какую степень возвести $a$ , чтобы получить $x$ ?», а тождество сразу возводит — и возвращает $x$ . Проверка на числах: $2^{l o g_{2} 7} = 7$ , $1 0^{l g 0, 01} = 0, 01$ , $e^{l n 5} = 5$ . Тождество работает при $x > 0$ — аргумент логарифма обязан быть положительным, иначе левая часть вообще не определена.

Обратное направление тоже полезно: $lo g_{a} a^{t} = t$ — логарифм степени возвращает показатель. Вместе пара тождеств показывает взаимную обратность показательной и логарифмической функций. В решении уравнений тождество — мост между мирами: $3^{l o g_{3} (x - 1)} = x - 1$ снимает экспоненту; $lo g_{2} 2^{s i n x} = sin x$ снимает логарифм. Пошаговое применение обоих направлений показывает решатель логарифмических уравнений; сводка формул — в шпаргалке логарифмов и степеней.

a^{l o g_{a} x} = x (x > 0), lo g_{a} a^{t} = t (a > 0, a \neq = 1)

две стороны одного факта: показатель и логарифм взаимно уничтожают друг друга

Частые вопросы

Почему в тождестве требуется x > 0?

Потому что слева стоит логарифм $lo g_{a} x$ , который определён только при положительном аргументе. При $x \leq 0$ левая часть не существует — не то что равна $x$ . Зато если слагаемое выглядит как $a^{l o g_{a} (выражение)}$ , выражение под логарифмом обязано быть положительным — это готовая строчка ОДЗ для уравнения.

Как вычислить 5^(2 log₅ 3) без калькулятора?

Сначала внесите двойку: $5^{2 l o g_{5} 3} = 5^{l o g_{5} 9}$ по свойству степени степени, затем примените тождество — получите $9$ . Альтернативный путь: $5^{l o g_{5} 3} = 3$ , а $5^{2 l o g_{5} 3} = (5^{l o g_{5} 3})^{2} = 3^{2} = 9$ . Оба пути — комбинация тождества и свойств степени.