📈 Матанализ

Логарифм степени

Q: Чем log²x отличается от log(x²)?

Расстановкой степени. $\log^2 x$ — это $(\log x)^2$: сначала логарифм, потом возведение в квадрат. $\log x^2$ — логарифм квадрата: сначала квадрат, потом логарифм, что равно $2\log|x|$. Числа отличаются: при $x = 10$ первое даёт $1$, второе — $2$. В задачниках верхний индекс у логарифма всегда означает степень самого логарифма.

англ. Logarithm of a power

Свойство log_a(u^k) = k·log_a u: показатель степени выносится перед логарифмом; с модулем работает и для чётных степеней.

Свойство степени $lo g_{a} (u^{k}) = k lo g_{a} u$ выносит показатель наружу. Проверка: $lo g_{2} 16 = lo g_{2} 2^{4} = 4$ , и через свойство $4 lo g_{2} 2 = 4$ — сходится. Показатель может быть любым действительным: $lo g_{2} 8 = \frac{1}{2} lo g_{2} 8 = \frac{3}{2}$ . Свойство — главный инструмент упрощения: длинная запись $l g (2^{10} \cdot 5^{10})$ сворачивается в $10 (l g 2 + l g 5) = 10$ — сразу видно, что произведение равно сотне в десятой.

Тонкость с чётными степенями: $lo g x^{2} = 2 lo g ∣ x ∣$ , а не $2 lo g x$ — модуль обязателен, ведь квадрат положителен и при отрицательном аргументе, где обычный логарифм не определён. Без модуля теряется половина корней уравнения $l g x^{2} = 2$ : правильный ответ $x = \pm 10$ , а запись $2 l g x = 2$ даёт только десятку. Именно из-за модуля путаница между $lo g^{2} x$ (квадрат логарифма) и $lo g x^{2}$ (логарифм квадрата) стоит баллов — читайте степень внимательно. Свойства — в шпаргалке логарифмов и степеней; уравнения с такими ловушками решает решатель логарифмических уравнений.

lo g_{a} (u^{k}) = k lo g_{a} u (u > 0); lo g_{a} (u^{2 n}) = 2 n lo g_{a} ∣ u ∣ (u \neq = 0)

показатель выносится; для чётных степеней нужен модуль аргумента

Частые вопросы

Чем log²x отличается от log(x²)?

Расстановкой степени. $lo g^{2} x$ — это $(lo g x)^{2}$ : сначала логарифм, потом возведение в квадрат. $lo g x^{2}$ — логарифм квадрата: сначала квадрат, потом логарифм, что равно $2 lo g ∣ x ∣$ . Числа отличаются: при $x = 10$ первое даёт $1$ , второе — $2$ . В задачниках верхний индекс у логарифма всегда означает степень самого логарифма.

Зачем модуль в формуле для чётной степени?

Квадрат и любые чётные степени положительны при любом ненулевом аргументе, поэтому $lo g (x^{2})$ существует и при $x < 0$ . Но правая часть $2 lo g x$ там не определена — равенство было бы ложным на половине области. Модуль $2 lo g ∣ x ∣$ восстанавливает совпадение областей определения и сохраняет отрицательные корни уравнений.