📈 Матанализ

Теорема Ферма о стационарной точке

Q: Чем стационарные точки отличаются от критических?

Критические — надмножество: это все внутренние точки, где $f' = 0$ (стационарные), плюс точки, где производной не существует. У $|x|$ в нуле производной нет, а минимум есть — точка критическая, но не стационарная. Поэтому поиск экстремумов начинают с уравнения $f'(x) = 0$, а затем добавляют точки изломов и вертикальных касательных; оба случая разобраны в [как решать экстремумы](/kak-reshat/ekstremumy/).

англ. Fermat's theorem on stationary points

Если дифференцируемая функция достигает локального экстремума во внутренней точке, производная там равна нулю: касательная горизонтальна. Стационарная точка — кандидат в экстремум, который ещё предстоит проверить.

Теорема Ферма — стартовая точка всего поиска экстремумов: если функция дифференцируема во внутренней точке $x_{0}$ и достигает в ней локального максимума или минимума, то $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Доказательство укладывается в три строки: для максимума дробь $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ справа от точки неотрицательна, слева — неположительна; оба односторонних предела совпадают и потому равны нулю. Точки, где $f^{'} (x) = 0$ , называют стационарными; вместе с точками, где производной не существует, они составляют критические — полный список кандидатов на экстремум.

Геометрия подсказывает картинку: на вершине холма касательная горизонтальна, ведь чуть левее график поднимался, чуть правее — уже опускается, и наклон обязан пройти через ноль. Но равенство $f^{'} (x_{0}) = 0$ — условие необходимое, без гарантий: у $f (x) = x^{3}$ в нуле производная нулевая, а функция весь путь только возрастает — там горизонтальная касательная перегиба, никакой вершины. Отсюда алгоритм: найти стационарные точки, затем проверить знак $f^{'}$ слева и справа — смена плюса на минус даёт максимум, минуса на плюс — минимум. Полное исследование — в уроке исследование функции, само понятие — в терминах экстремум.

Считаем: $f (x) = x^{3} - 3 x$ на отрезке $[- 2; 2]$ . Производная $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ обнуляется в $x = \pm 1$ : слева от $- 1$ знак плюс, между $- 1$ и $1$ минус — максимум $f (- 1) = 2$ ; правее снова плюс — минимум $f (1) = - 2$ . Сравниваем с краями: $f (- 2) = - 2$ , $f (2) = 2$ — наибольшее значение на отрезке всё равно живёт на границе, куда теорема Ферма не дотягивается: точка не внутренняя. Разбор типовых задач — в разделе как решать экстремумы, инструмент — в терминах касательная.

f^{'} (x_{0}) = 0 \Rightarrow x_{0} — кандидат в экстремум, f^{''} (x_{0}) < 0 \Rightarrow max, f^{''} (x_{0}) > 0 \Rightarrow min

необходимое условие теоремы Ферма и вторая производная как быстрая проверка характера стационарной точки

Частые вопросы

Стационарная точка — это уже экстремум?

Нет. Теорема работает в одну сторону: экстремум у дифференцируемой функции обнуляет производную, но нулевая производная может означать и горизонтальный перегиб, как у $y = x^{3}$ в нуле. Гарантию даёт проверка знака первой производной по обе стороны от точки или второй производной: $f^{''} (x_{0}) > 0$ — минимум, $f^{''} (x_{0}) < 0$ — максимум. Схема проверки — в уроке исследование функции.

Чем стационарные точки отличаются от критических?

Критические — надмножество: это все внутренние точки, где $f^{'} = 0$ (стационарные), плюс точки, где производной не существует. У $∣ x ∣$ в нуле производной нет, а минимум есть — точка критическая, но не стационарная. Поэтому поиск экстремумов начинают с уравнения $f^{'} (x) = 0$ , а затем добавляют точки изломов и вертикальных касательных; оба случая разобраны в как решать экстремумы.

пошагово

Решатель производных

Найти стационарные точки по шагам

По теореме Ферма производная в них равна нулю: решатель продифференцирует и упростит f′(x) — останется приравнять к нулю.

Открыть решатель