Дифференциал функции

Дифференциал $dy=f^{\prime }(x_0)dx$ — главная линейная часть приращения функции. Точное приращение $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ расщепляется на два слоя: линейный $f^{\prime }(x_0)\Delta x$ и хвост $o(\Delta x)$, который при малых шагах исчезающе мал. Геометрически $dy$ — приращение не по кривой, а по касательной: вместо склона холма считаем по его касательной прямой. Дифференциал существует тогда же, когда производная, — связь прямая: $dy=f^{\prime }(x)dx$, и вся таблица производных автоматически становится таблицей дифференциалов.

На чём это держится, показывает расчёт. Корень из $4,02$: функция $f(x)=\sqrt{x}$, в точке $4$ производная $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=0,25$, шаг $\Delta x=0,02$, значит $dy=0,005$ и $\sqrt{4,02}\approx 2,005$. Точное значение $2,004994\dots$ — ошибка прячется в шестом знаке. Приём одинаков для любой гладкой функции: $(1,02{)}^{10}$ прикидывается как $1+10\cdot 0,02=1,2$ против точных $1,219$ — грубее, потому что шаг не так мал относительно кривизны. Освоение производных — в уроке производная: определение, быстрые формулы — в таблице производных.

Главная суперспособность дифференциала — инвариантность формы: запись $dy=f^{\prime }(u)du$ верна и когда $u$ — независимая переменная, и когда $u$ — функция другой переменной. Поэтому замены в интегралах, линейные приближения в физике и погрешности измерений пишутся одинаково коротко: относительная ошибка произведения складывается из относительных ошибок сомножителей, и все они считаются через $dy/y=f^{\prime }(x)dx/f(x)$. Точность оценивается остатком $o(\Delta x)$: шаг меньше в десять раз — ошибка меньше примерно в сто. Дифференциал в действии — в теме полные дифференциалы и в терминах замена переменной.