Замена переменной

Замена переменной — это взгляд на интеграл под другим углом. Вместо того чтобы интегрировать по $x$, мы говорим: пусть $t=g(x)$ — и переписываем всё в терминах $t$. Если подынтегральная функция устроена как «что-то от $g(x)$, умноженное на $g^{\prime }(x)$», то после замены остаётся чистая таблица: $\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(t)dt$. Дифференциал при этом честно пересчитывается: $dt=g^{\prime }(x)dx$ — именно поэтому «умножение на производную» не рукописная вольность, а следствие определения дифференциала.

Разберём живой пример: $\int 2x\sin (x^2)dx$. Смотрим на структуру: $sin(x^2)$ — композиция, а её внутренность $x^2$ видна и в множителе $2x$. Берём $t=x^2$, тогда $dt=2xdx$ — и весь множитель уходит в дифференциал. Интеграл превращается в $\int \sin tdt=-\cos t+C=-\cos (x^2)+C$. Обратите внимание: вернуться к $x$ нужно в самом конце — в терминах $t$ ответ считается незавершённым.

Какие замены стоит узнавать в лицо: $t$ = внутренняя функция линейного аргумента ($ax+b$), $t$ = знаменатель (если числитель — почти его производная), $t$ = показатель экспоненты, $t$ = подкоренное выражение для $\sqrt{ax+b}$, тригонометрические подстановки $x=a\sin t$ для $\sqrt{a^2-x^2}$. Для определённого интеграла есть два пути: пересчитать пределы ($x=a\Rightarrow t=g(a)$) и не возвращаться к $x$ вовсе, либо вернуть переменную и брать старые пределы. Первый способ короче и меньше ошибоём — но забытый пересчёт пределов ломает весь ответ.

Замена — первый из двух больших методов (второй — интегрирование по частям), и вместе они покрывают большинство интегралов первого семестра. Потренируйте глаз на живых задачах: тренажёр интегралов учит узнавать тип с одного взгляда, все приёмы собраны в шпаргалке методов интегрирования, а полный урок с примерами и ловушками — метод замены и по частям. Понять, откуда берётся сама конструкция $\int fdx$, поможет неопределённый интеграл.