📈 Матанализ

Интегрирование по частям

англ. Integration by parts

Приём для интегралов от произведения двух «разнородных» множителей: одну часть дифференцируем, другую интегрируем, и сложный интеграл обменивается на более простой.

Умножение под интегралом — главный источник боли первокурсника: первообразная произведения не равна произведению первообразных, и таблица тут бессильна. Интегрирование по частям — это честный размен: мы разбиваем подынтегральное выражение на две роли, $u$ (то, что дифференцируем) и $d v$ (то, что интегрируем), и платим за новый интеграл тем, что $x^{n}$ в нём теряет степень или $l n x$ вовсе исчезает. Формула размена выводится в одну строку из правила произведения: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

\int u d v = u v - \int v d u

главная сделка анализа: сложный интеграл меняется на произведение uv плюс новый, более простой интеграл

Весь навык — в выборе ролей. Рабочее правило LIATE: приоритет на роль $u$ у Логарифма, затем у Обратных тригонометрических, затем у Алгебраических, затем у Тригонометрических, и лишь потом у Экспоненты. Логика простая: всё, что ближе к началу списка, при дифференцировании упрощается ( $ln x$ вообще превращается в $1/ x$ ), а всё, что в конце, при интегрировании почти не усложняется. Разберём классику: $\int x e^{x} d x$ . Берём $u = x$ , $d v = e^{x} d x$ ; тогда $d u = d x$ , $v = e^{x}$ , и по формуле: $x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C$ . Если выбрать наоборот ( $u = e^{x}$ ), интеграл не упростится, а разбухнет — это и есть сигнал, что роли выбраны неверно.

Раскрываем ∫x·eˣ dx по шагам

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Два особых сценария. Первый — циклический: в $\int e^{x} cos x d x$ формула возвращает похожий интеграл, и его «прорывают» дважды, после чего интеграл выражается сам из себя как уравнение. Второй — многократное понижение степени: $\int x^{2} e^{x} d x$ требует двух проходов (степень падает $2 \to 1 \to 0$ ), а $\int x^{3} cos x d x$ — трёх. Для таких случаев есть табличная рекуррентная формула редукции, но и руками два-три прохода считаются быстро. Отдельно отметим $\int ln x d x$ : здесь $u = ln x$ , $d v = d x$ — единственный случай, когда логарифм дифференцируем «сам на себя», и ответ $x ln x - x + C$ стоит просто запомнить.

По частям живёт не только в интегралах: та же формула доказывает разложения ряда Тейлора, работает при выводе формулы Тейлора с остаточным членом и в интегрировании дифференциальных уравнений. Отработать метод руками — в тренажёре интегралов, шпаргалка со всеми типовыми парами $u$ и $d v$ — в методах интегрирования, полный урок с дробно-рациональными и заменой — метод замены и по частям.

Частые вопросы

Как быстро понять, что интеграл берётся по частям?

Подынтегральное выражение — произведение двух функций «разной природы» (степень × экспонента, логарифм × степень, экспонента × тригонометрия), и ни один множитель не берётся по таблице в произведении. Если же под интегралом степень синуса или косинуса — сначала попробуйте формулы понижения степени, и только потом части.

Что делать, если после первого применения формула вернула похожий интеграл?

Это циклический случай. Примените формулу ещё раз с теми же ролями ( $u$ — та же функция, что и в первый раз), перенесите получившийся интеграл влево и решите линейное уравнение относительно него. Обязательно берите одинаковую роль $u$ на обоих проходах — иначе вы сделаете круг и вернётесь к исходному интегралу.

Всегда ли нужен именно порядок LIATE?

Это эвристика, а не закон: в 95% задач она даёт правильный выбор, но если первый проход усложнил интеграл — роли нужно поменять. Единственный надёжный критерий — упрощение: дифференцируем то, что при дифференцировании «сдувается» (логарифм, арктангенс, степень), интегрируем то, что при интегрировании живёт спокойно (экспонента, синус, косинус).

пошагово

Решатель интегралов

Интегрировать по частям по шагам

Введите свой интеграл: решатель выберет u и dv, запишет формулу и доведёт до ответа.

Открыть решатель