Кривизна кривой: формула, радиус кривизны и соприкасающаяся окружность

Две дороги закругляются перед мостом: у одной разворот мягкий, у другой — почти на месте. Инженеру мало слов «круто» и «пологая»: скорость на вираже ограничивается именно числом, которое измеряет искривлённость линии. Это число — кривизна, и в этом уроке мы выведем её формулу из определений, посчитаем для параболы и окружности, построим соприкасающуюся окружность — лучший локальный двойник кривой — и доберёмся до эволюты, траектории центров кривизны.

Определение: скорость поворота касательной#

Едем по кривой и следим за стрелкой касательной. На прямой она не крутится вовсе. На окружности единичного радиуса полный оборот стрелки случается на пути длиной $2\pi$ — средняя скорость поворота $\frac{2\pi }{2\pi }=1$. На окружности радиуса 2 тот же оборот растянут на путь $4\pi$ — скорость вдвое меньше. Естественная мера искривлённости — скорость поворота касательной на единицу пройденного пути:

Откуда видно, что кривизна окружности радиуса $R$ равна $\frac{1}{R}$? На единицу пути касательная поворачивается на $\frac{1}{R}$ радиана — большая окружность плавнее, маленькая «круче». У прямой кривизна нулевая. Обе проверки пригодятся как контроль формул, которые мы сейчас выведем.

Формула для графика y = f(x)#

Переведём определение на язык производных. Наклон касательной равен $\mathrm{tg}\alpha =y^{\prime }$, значит $\alpha =\mathrm{arctg}{y}^{\prime }$. Дифференцируем по $s$, помня, что $y^{\prime }$ зависит от $x$, а дуга связана с абсциссой соотношением $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$ (вывод длины дуги — в приложениях определённого интеграла):

Проверим формулу на параболе $y=x^2$. Здесь $y^{\prime }=2x$, $y^{\prime \prime }=2$, и

В вершине параболы кривизна равна 2, а к краям тает: знаменатель растёт, и кривая распрямляется. Заметьте, что $y^{\prime \prime }$ участвует, но не равна кривизне: в точке с крутым наклоном знаменатель $(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}$ заметно больше единицы и давит числитель. Вторая производная — лишь заготовка; настоящая кривизна учитывает ещё и наклон.

Радиус кривизны и соприкасающаяся окружность#

Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны: $R=\frac{1}{k}$. В каждой точке гладкой кривой с $k\ne 0$ можно построить окружность, которая повторяет кривую лучше всех прочих окружностей: она проходит через точку, имеет ту же касательную и ту же кривизну. Это соприкасающаяся окружность (её называют и кругом кривизны); её центр сидит на нормали к кривой на расстоянии $R$ от точки, в сторону вогнутости.

Для параболы $y=x^2$ в вершине радиус кривизны равен $\frac{1}{2}$: соприкасающаяся окружность сидит над вершиной с центром $(0,\frac{1}{2})$. Смысл точный, а не декоративный: разложение кривой по Тейлору показывает, что соприкасающаяся окружность повторяет кривую до членов второго порядка включительно — касательная совпадала лишь до первого. Поэтому она и «соприкасающаяся»: прилегает плотнее любой другой окружности. Когда кривая изгибается по-разному в разных точках, центр круга кривизны переезжает; его траектория называется эволютой. У параболы $y=x^2$ центры кривизны бегут по полукубической параболе $27x^2=16{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^3$ с остриём ровно в $(0,\frac{1}{2})$; нормаль к исходной кривой касается эволюты — инженеры зовут эволюту «рельсом для центров».

Ещё один счётный пример — синусоида $y=\sin x$. В вершине $x=\frac{\pi }{2}$: $y^{\prime }=\cos x=0$, $y^{\prime \prime }=-\sin x=-1$, кривизна $k=\frac{1}{1^{3/2}}=1$ — радиус кривизны единица. В точке $x=0$: $y^{\prime \prime }=0$ — перегиб, кривизна ноль, радиус улетает в бесконечность. Две соседние точки одной кривой: от соприкасающейся окружности радиуса 1 до прямой. И поучительно, что в точке перегиба наклон целых $45^{\circ }$, а кривизна нулевая: положение касательной и скорость её поворота — разные вещи.

Параметрическая кривая#

Если кривая задана параметрически $x(t)$, $y(t)$, явная формула не подходит — но вывод тот же: скорость поворота угла на единицу дуги. Собирается она в одну дробь:

Главный экзаменационный пример — окружность $x=R\cos t$, $y=R\sin t$. Производные: $x^{\prime }=-R\sin t$, $y^{\prime }=R\cos t$, $x^{\prime \prime }=-R\cos t$, $y^{\prime \prime }=-R\sin t$. Числитель: $|R^2{\sin }^{2}t+R^2{\cos }^{2}t|=R^2$. Знаменатель: $(R^2{)}^{3/2}=R^3$. Итого $k=\frac{1}{R}$ — определение подтверждено формулой в каждой точке, как и должно быть у окружности.

Параметрическая форма ещё и объясняет физику виража. Тело, движущееся по кривой со скоростью $v$, испытывает нормальное ускорение $a_n=k{v}^2$ — ровно кривизна умножает квадрат скорости. Понижение скорости на повороте втрое ослабляет боковую перегрузку в девять раз: вот почему перед крутыми виражами стоят знаки, а на трассах радиус кривизны нормируется в метрах.

Типовые ошибки#

1. Кривизна приравнена к второй производной: $y^{\prime \prime }$ — лишь числитель; на склоне знаменатель $(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}$ меняет число существенно
2. Потеряна степень $3/2$ или модуль в знаменателе: самая частая арифметическая утечка баллов
3. В параметрической формуле перепутан порядок: стоит $x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }$, а не $x^{\prime \prime }{y}^{\prime }-y^{\prime \prime }{x}^{\prime }$ — знак следит за согласованностью производных
4. Радиус кривизны отождествлён с радиусом окружности через три соседние точки: это разные построения; соприкасающаяся окружность определяется производными до второго порядка
5. Кривизне приписан знак по выпуклости: классическая кривизна неотрицательна; знаковая (направленная) кривизна — отдельная конструкция, о ней честно говорят, когда она нужна

1. 1
   Длина дуги — знаменатель кривизны: приложения определённого интеграла
2. 2
   Интегралы по самим кривым: криволинейные интегралы
3. 3
   Поля, потоки и вихри — следующий большой раздел: теория поля
4. 4
   Отработать дифференцирование: тренажёр производных и шпаргалка по производным

Вся тема сидит на одном отношении $d\alpha /ds$; явная и параметрическая формулы — его пересчёт на разные языки задания кривой, соприкасающаяся окружность — его геометрия, а $a_n=k{v}^2$ — его физика. Для решения стандартной задачи хватает трёх строк: производные, кривизна, радиус. Если при дифференцировании сложных функций возникает пауза, вернитесь к правилам дифференцирования; словарная статья про криволинейный интеграл подхватит тему там, где кривая станет путём интегрирования.