Задание 7 ЕГЭ по математике (профиль): производная и график — разбор с примерами

Седьмой номер — производная без вычислений: по графику функции или её производной нужно прочитать наклон, найти точки экстремума или посчитать значение производной в точке. Один первичный балл. Формулы дифференцирования здесь почти не нужны — нужна картина: производная есть скорость изменения, её знак — направление движения, ноль — горизонтальная касательная.

Три сюжета банка ФИПИ. Первый: прямая параллельна касательной к графику — приравняйте угловые коэффициенты, $k=f^{\prime }(x_0)$. Второй: дан график $y=f^{\prime }(x)$ — спросите про экстремумы или количество точек, где касательная горизонтальна. Третий: дан график $y=f(x)$ — спросите, в скольких точках производная положительна, или значение производной в отмеченной точке. Теория — в уроке производная: определение, таблица — в шпаргалке производных.

Ловушки седьмого номера#

• Путаница графиков: дан график производной, а думают о функции. Точка, где график $f^{\prime }$ пересекает ось, — кандидат в экстремум $f$, а не вершина самой $f$.
• Экстремум требует смены знака производной: ноль $f^{\prime }$ без смены знака — перегиб, не холм и не яма.
• Наибольшее значение на отрезке может сидеть на границе, где производная нулю не равна вовсе.
• Значение производной в точке — это наклон касательной: посчитайте $k$ по двум точкам прямой, не придумывайте формулу функции.
• Количество целых точек, где производная отрицательна, считают строго по клеткам: каждая клетка оси — целое значение абсциссы.

Алгоритм решения#

1. 1
   Определите, чей график дан: самой функции или её производной. Это первый и главный вопрос номера.
2. 2
   Для параллельности: угловой коэффициент прямой равен производной в точке касания — составьте уравнение $f^{\prime }(x_0)=k$.
3. 3
   Для экстремумов по графику $f^{\prime }$: нули и смена знака. Плюс на минус — максимум, минус на плюс — минимум.
4. 4
   Для наибольшего/наименьшего значения на отрезке: кандидаты — нули производной внутри отрезка и концы отрезка. Сравните значения, а не наклоны.
5. 5
   Для значения производной в точке: считайте $k$ по двум ближайшим точкам касательной, отмеченным на рисунке, — $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Пример 1. Параллельность прямой и касательной#

Условие: прямая $y=3x+1$ параллельна касательной к графику $y=x^2-4x+5$. Найдите абсциссу точки касания. Параллельность означает равенство угловых коэффициентов: у прямой $k=3$, значит и производная должна равняться трём.

Ответ: $3,5$. Константа $+1$ у прямой и $+5$ у параболы остались невостребованными — так и должно быть: параллельность про наклоны, а не про сдвиги. Проверка на интерактиве выше: подвиньте точку к $x=3,5$ — касательная ляжет параллельно прямой.

Пример 2. Значение производной по касательной#

Условие: на рисунке изображены график $y=f(x)$ и касательная в точке с абсциссой $x_0$. Касательная проходит через точки $(1;2)$ и $(5;6)$. Найдите значение производной в точке $x_0$. Производная равна наклону касательной — считайте по двум точкам:

Ответ: 1. Наклон положителен — функция в этой точке растёт; это видно и по рисунку. Ошибаются здесь редко по формуле и часто по числам: минус в разности координат переворачивает знак ответа. Считайте по клеткам, подписывая, что вычитаете.

Чек-лист самопроверки#

• Определено, чей график: $f$ или $f^{\prime }$; выводы согласованы с этим выбором.
• Параллельность сведена к уравнению $f^{\prime }(x_0)=k$.
• Каждый кандидат в экстремумы проверен на смену знака производной.
• Наибольшее/наименьшее значение сравнено в том числе на концах отрезка.
• Наклон касательной посчитан по двум точкам с выписанной разностью.

Дальше — графики с коэффициентами: задание 9 про линейную, параболу, гиперболу и логарифм. Полное исследование функций с производными — в уроке исследование функций.

Разбор второй задачи уровня реального экзамена: уровень на графике производной#

Условие: на рисунке изображён график $y=f^{\prime }(x)$ на отрезке $[-4;4]$ — ломаная с вершинами в точках $(-4;0)$, $(0;4)$ и $(4;0)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=2x-5$ или совпадает с ней. Ключ к чтению условия: касательная параллельна прямой, когда их наклоны равны, то есть когда $f^{\prime }(x)=2$. Задача сворачивается к подсчёту точек, в которых график производной пересекает горизонтальный уровень $y=2$.

Ломаная состоит из двух звеньев, и каждое описывается прямой со своим уравнением. Звено от $(-4;0)$ к $(0;4)$ поднимается на четыре клетки за четыре: наклон $1$, уравнение $f^{\prime }(x)=x+4$. Уровень $2$ достигается из решения $x+4=2$, то есть при $x=-2$. Звено от $(0;4)$ к $(4;0)$ опускается с наклоном $-1$: уравнение $f^{\prime }(x)=4-x$, и условие $4-x=2$ даёт $x=2$. На каждом звене пересечение с уровнем ровно одно, итого две точки. Ответ: 2.

Проверка одной строкой: $f^{\prime }(-2)=-2+4=2$ и $f^{\prime }(2)=4-2=2$ — обе точки подтверждаются подстановкой. Главные ловушки сюжета: в вопросе речь о касательных к графику $f$, а рисунок показывает $f^{\prime }$, поэтому искать надо пересечения уровня, а не нули; формулировка «параллельна или совпадает» счёт не меняет — совпадение тоже параллельность; и если прямая в условии горизонтальна, её высота и есть уровень — сравнивать надо именно с ней, а не с осью абсцисс.