Задание 8 ЕГЭ по математике (профиль): задачи с физическим содержанием — разбор с примерами

Восьмой номер — стык предметов: физическая ситуация записана формулой, а вопрос ставит матанализ. Точка движется по закону $x(t)$ — просят скорость или ускорение; дан заряд $q(t)$ — просят силу тока; дана скорость — просят путь. Один первичный балл, ответ — число, и почти всегда счёт сводится к двум действиям: продифференцировать и подставить либо проинтегрировать и посчитать площадь.

Вся техника задания держится на механическом смысле производной и интеграла: производная координаты — скорость, производная скорости — ускорение, интеграл скорости — пройденный путь. Теория с определениями — в уроке производная: определение, приложения — в уроке о применениях интеграла, физическая база — в шпаргалке формул механики.

Четыре сюжета и таблица соответствий#

Ловушки восьмого номера#

• Единицы времени: $t$ дано в секундах, и все величины должны жить в одной системе. Смешанные минуты и секунды — источник половины ошибок.
• Просят ускорение, а находят скорость: ускорение — производная скорости, то есть вторая производная координаты. Перечитайте вопрос перед подстановкой.
• Путь и перемещение различаются, когда скорость меняет знак: перемещение — интеграл скорости, путь — интеграл её модуля. В первой части скорости обычно знакопостоянны, но условие проверьте.
• Значение производной в точке — не значение функции: $x(4)$ — где оказалась точка, $x^{\prime }(4)$ — с какой скоростью двигалась в этот момент. Подмена этих чисел — самая частая ошибка.
• Коэффициенты при дифференцировании: производная от $5t^2$ равна $10t$, а не $5t$. Показатель степени падает вниз и умножает коэффициент.

Алгоритм решения#

1. 1
   Выпишите, что дано и что просят: закон движения, момент времени, искомая величина.
2. 2
   Переведите вопрос на язык матанализа по таблице выше: скорость — производная, ускорение — вторая производная, путь — интеграл.
3. 3
   Продифференцируйте аккуратно, проговаривая каждое правило: степень, корень, сумма.
4. 4
   Подставьте нужный момент времени и посчитайте без калькулятора — числа первой части подобраны под устный счёт.
5. 5
   Проверьте ответ на размерность и здравый смысл: скорость в метрах в секунду, ускорение в метрах на секунду в квадрате, путь неотрицателен.

Пример 1. Скорость по закону движения#

Условие: точка движется по прямой по закону $x(t)=3t^2-7t+2$, где $x$ — расстояние в метрах, $t$ — время в секундах. Найдите её скорость в момент $t=4$ с. Скорость — производная координаты:

Ответ: 17 м/с. Заметьте: константа $+2$ в законе движения ни на что не повлияла — производная константы равна нулю, и стартовая точка не мешает вопросу о скорости. Если бы спросили координату в момент 4 с, ответ был бы другим: $x(4)=48-28+2=22$ м. Две величины, два разных числа — держите их раздельно.

Пример 2. Ускорение — вторая производная#

Условие: $x(t)=t^3-5t^2+6t+1$. Найдите ускорение в момент $t=3$ с. Дифференцируем дважды:

Ответ: 8 м/с². Цепочка «координата, скорость, ускорение» — главный маршрут задания. Ошибаются здесь по невнимательности: дифференцируют один раз и подставляют в $v(t)$. Контрольный вопрос себе: «Что я дифференцирую и сколько раз?»

Пример 3. Путь через интеграл#

Условие: скорость точки меняется по закону $v(t)=6t+4$ (м/с). Какой путь она пройдёт за первые 2 секунды? Скорость положительна на всём отрезке, поэтому путь равен интегралу скорости:

Ответ: 20 м. Интеграл здесь — площадь трапеции под графиком скорости: полусумма оснований $(4+16)/2$ на высоту 2 даёт ту же двадцатку — проверка даже без формулы Ньютона–Лейбница.

Чек-лист самопроверки#

• Вопрос переведён на язык матанализа по таблице: скорость, ускорение, сила тока или путь.
• Производная взята нужное число раз: один — для скорости и силы тока, два — для ускорения.
• Подставлен тот момент времени, который просят, а не первый попавшийся.
• Размерность ответа совпадает с ожидаемой физической величиной.
• Значение функции и значение производной в точке не перепутаны.

Родственный номер без физики — задание 7: там график и касательная. Матанализ под физику — в уроке о применениях интеграла и уроке кинематика точки.

Ещё одна задача: линейный закон остывания#

Температура пара в котле за каждую минуту снижается на одно и то же число градусов. В момент $t=4$ мин она равна $72^{\circ }$, а в момент $t=12$ мин — $48^{\circ }$. Найдите температуру при $t=20$ мин. Зависимость линейна: $T(t)=kt+b$, и скорость остывания находится из разности: $k=(48-72)/(12-4)=-3$ градуса в минуту. Свободный член восстанавливается из первой точки: $b=72+3\cdot 4=84$. Тогда $T(20)=84-3\cdot 20=24^{\circ }$. Не нужен даже полный вывод формулы — достаточно заметить, что 20 минут отстоят от 12 на те же 8 минут, что 12 от 4, значит температура опустится ещё на те же $3\cdot 8=24$ градуса: $48-24=24$. Симметрия интервалов — самый быстрый путь в задачах про равномерные процессы.

Графический сюжет: чтение линейного графика#

Вторая по частоте разновидность — график с осмысленной физикой: расход топлива, нагрев, движение двух объектов. Стратегия одна: переведите каждую точку графика в предложение с числом. «В момент 2 минуты температура 60 градусов» — уже данные для расчёта. Чаще всего спрашивают разность скоростей, время до события или момент встречи; всё это считается как углы наклона и пересечения прямых. Полезный приём: отметьте на рисунке две точки одной прямой и сразу вычислите наклон — это убирает необходимость помнить «физику» процесса, вся информация уже на картинке. Единицы измерения проверяйте на каждом переходе: километры в час и метры в секунду в одной задаче не смешиваются, и банк ФИПИ любит прятать эту ловушку в формулировку с «полкилометра» или «полторы минуты».