Задание 9 ЕГЭ по математике (профиль): графики функций — разбор с примерами

Девятый номер появился в КИМ недавно и полюбился составителям: дан рисунок графика и его формула с недостающими коэффициентами. Нужно опознать тип кривой и вытащить коэффициенты из характерных точек — пересечения с осями, вершины, асимптоты. Один первичный балл, ответ — число. Калькулятор не нужен, нужны глаза и три опорных сюжета.

Четыре семейства в банке ФИПИ: прямая $y=kx+b$, парабола $y=a{x}^2+bx+c$, гипербола $y=\frac{k}{x}$ (и её сдвинутые версии $y=\frac{k}{x+a}+b$), логарифмическая и показательная кривые. Свойства каждого видны на графике мгновенно: наклон прямой, направление ветвей параболы, четверть гиперболы, знак логарифма. Опорные факты — в шпаргалке логарифмов и степеней и термине логарифм.

Ловушки девятого номера#

• Знак коэффициента определяют по направлению: у прямой $k>0$, если график идёт вверх; у параболы $a>0$, если ветви вверх; у гиперболы $k>0$ — ветви в первой и третьей четвертях.
• Свободный член прямой — точка пересечения с осью $y$: читается с рисунка напрямую, не считайте его через наклон.
• Вершина параболы $x_{в}=-\frac{b}{2a}$: подставьте опознанные $a$ и вершину, чтобы найти $b$, а не подбирайте наугад.
• Горизонтальная и вертикальная асимптоты гиперболы дают сдвиги: $y=\frac{k}{x+a}+b$ имеет асимптоты $x=-a$ и $y=b$.
• Логарифмическая кривая проходит через $(1;0)$ в базовом виде и через точку сдвига после него: одна точка уже определяет основание.

Алгоритм решения#

1. 1
   Опознайте семейство: прямая, парабола, гипербола, экспонента, логарифм. От семейства зависит набор опорных точек.
2. 2
   Выпишите характерные точки с рисунка: пересечения с осями, вершина, асимптоты, отмеченные точки с целыми координатами.
3. 3
   Знаки коэффициентов снимите с направления кривой: вверх/вниз, растёт/убывает, какая четверть.
4. 4
   Подставьте опорную точку в формулу и выразите неизвестный коэффициент. Для параболы сначала $a$ по ветвям и вершине, потом $b$.
5. 5
   Проверьте вторую точку графика: коэффициент обязан сойтись. Не сошёлся — пересчитайте знак или сдвиг.

Пример 1. Прямая по двум точкам#

Условие: на рисунке прямая проходит через точки $(1;-1)$ и $(3;3)$; её формула $y=kx+b$. Найдите $k$. Наклон считаем по разности координат:

Ответ: $k=2$. Свободный член при желании досчитывается из первой точки: $-1=2\cdot 1+b$, значит $b=-3$. В вариантах ФИПИ обычно просят один коэффициент, а второй служит проверкой: подставьте обе точки, обе обязаны лечь на прямую.

Пример 2. Парабола по вершине и точке#

Условие: парабола $y=a{x}^2+bx+c$ ветвями вверх, вершина в точке $(2;-1)$, график проходит через $(0;3)$. Найдите $a$. Полный разбор — в интерактиве выше; ключевой ход — форма с выделенным квадратом:

Гипербола решается симметрично: асимптоты дают сдвиги, а любая точка графика отдаёт $k$. Логарифмическая кривая опознаётся по вертикальной асимптоте и точке $(1;0)$ в базовом положении. Во всех сюжетах план тот же: семейство → опорные точки → подстановка → проверка второй точкой.

Чек-лист самопроверки#

• Семейство опознано, формула соответствует типу кривой.
• Знаки коэффициентов сняты с направления: ветви, наклон, четверть гиперболы.
• Опорные точки взяты с рисунка точно, с учётом масштаба клеток.
• Коэффициент выражен из подстановки, а не подобран.
• Вторая точка графика проверена: подстановка сходится.

Первая часть почти пройдена: впереди — исследование функций с настоящими вычислениями: задание 12. Поведение кривых на бесконечности разбирается в уроке предел функции — это и есть асимптоты.

Разбор второй задачи уровня реального экзамена: показательная кривая#

Условие: на рисунке изображён график функции $y=a^x+b$; кривая проходит через точки $(0;3)$ и $(1;4)$. Найдите $a$. Начните с точки, где абсцисса равна нулю: любая показательная степень с нулевым показателем равна единице, $a^0=1$, поэтому $1+b=3$ и сдвиг $b=2$. Первым вычленяется именно сдвиг, а не основание — иначе уравнение с двумя неизвестными не распутать.

Теперь основание достаётся из второй точки: $a^1+2=4$, откуда $a=2$. Проверка двумя способами. Подстановка: $2^0+2=3$ и $2^1+2=4$ — обе точки легли на кривую $y=2^x+2$. Асимптота: горизонтальная прямая $y=b=2$ на рисунке действительно та, к которой кривая прижимается при уходе влево, ведь $2^x$ убывает к нулю при убывании $x$. Оба наблюдения согласуются — ответ $a=2$ надёжен.

Методический вывод сюжета: порядок чтения коэффициентов идёт от особых точек. Точка с $x=0$ и горизонтальная асимптота отдают сдвиг $b$, точка с целой абсциссой отдаёт основание $a$. Для логарифмической кривой пара зеркальна: вертикальная асимптота отдаёт горизонтальный сдвиг, точка $(1;0)$ в базовом положении — основание. Семейство меняется — список опорных точек меняется вместе с ним, а приём «подставь и вырази» неизменен.

Отдельный источник потерь в этом задании — масштаб клеток: подпись «1» может стоять не под каждой клеткой, и тогда обе опорные точки считываются с ошибкой в два раза. Привычка простая: прежде чем составлять уравнения, сверьте координаты отмеченных точек с делениями осей и восстановите цену клетки. В нашем примере абсциссы $0$ и $1$ соседние — сдвиг и основание вышли маленькими целыми; будь клетка вдвое крупнее, ответ стал бы иным, и подстановка обеих точек немедленно это показала бы.