Задание 10 ЕГЭ по математике (профиль): текстовые задачи — разбор с примерами

Десятый номер — самая «жизненная» задача первой части: лодка против течения, две трубы, смешивание растворов. Сюжетов немного, и все они переводятся в уравнение одной и той же процедурой: обозначить неизвестное, выразить через него остальное, связать условием. Один первичный балл; по статистике ФИПИ текстовые задачи решают лучше графиков — здесь не нужно ничего помнить, нужно уметь читать.

Ключевая привычка — таблица: строки «путь, скорость, время» или «объём, производительность, время». Два известных элемента каждой строки дают третий. Дискриминанты в задании всегда «хорошие»: полные квадраты или круглые корни, квадратные уравнения решаются устно — технику освежат шпаргалка формул сокращённого умножения и термин квадратное уравнение.

Ловушки десятого номера#

• Единицы измерения: минуты с часами смешиваются незаметно. Приведите всё к одной единице до составления уравнения.
• Собственная скорость и скорость течения: против течения — вычитание, по течению — сложение. Перепутали знак — корень выходит «красивый», но неверный.
• Обратный путь: лодка возвращается по той же реке, но с другой скоростью и другим временем — в уравнении разность двух дробей, а не одна дробь.
• Просят одну величину, а уравнение даёт другую: если $x$ — производительность второй трубы, в бланк идёт $x$, а не время наполнения.
• Посторонние корни: скорость не бывает отрицательной, производительность — нулевой. Квадратное уравнение даёт два корня, осмысленный обычно один.
• Смеси: концентрация — отношение массы вещества к массе раствора; массы складываются, а проценты складывать нельзя.

Алгоритм решения#

1. 1
   Прочитайте вопрос дважды: что именно просят — скорость, время, объём или процент. Ответ обязан быть в этих величинах.
2. 2
   Начертите таблицу: по столбцам участники (туда и обратно, первая и вторая труба), по строкам путь, скорость/производительность, время.
3. 3
   Обозначьте $x$ величину, через которую всё выражается проще всего, — обычно скорость или производительность.
4. 4
   Свяжите строки уравнением из условия: разность времён, равенство объёмов, баланс массы вещества.
5. 5
   Решите уравнение, отбросьте посторонние корни и ответьте именно на вопрос задачи — иногда из корня нужно ещё что-то вычесть или сложить.

Пример 1. Лодка против течения и обратно#

Условие: моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде. Пусть $u$ — собственная скорость; против течения скорость $u-3$, по течению $u+3$:

Ответ: 9 км/ч. Проверка: против течения $24/6=4$ часа, по течению $24/12=2$ часа, разница ровно 2. Корень $u=-9$ отброшен — скорость не бывает отрицательной. Приём с разностью дробей — главный в сюжетах «туда-обратно»: она сворачивается в разность квадратов знаменателей.

Пример 2. Две трубы — по шагам#

Условие: первая труба пропускает на 1 литр в минуту меньше, чем вторая, и заполняет резервуар объёмом 110 литров на 1 минуту дольше, чем вторая. Сколько литров в минуту пропускает вторая труба? Уравнение и разбор:

Дискриминант $441=21^2$, корни 11 и $-10$; ответ: 11 л/мин. Проверка: первая труба работает $110/10=11$ минут, вторая $10$ минут — разница одна минута, как в условии.

Пример 3. Смесь растворов#

Условие: смешали 4 литра 15-процентного водного раствора вещества с 6 литрами 25-процентного. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Считаем массу вещества в каждом растворе и складываем:

Ответ: 21 процент. Ловушка задачи — соблазн сложить проценты или усреднить: $(15+25)/2=20$ — близко, но неверно. Вещества 2,1 литра на 10 литров раствора, и только отношение даёт честные 21%.

Чек-лист самопроверки#

• Все величины приведены к одним единицам измерения.
• Собственная скорость, скорость течения и их сумма/разность различены на бумаге.
• Для работы: производительность, умноженная на время, равна объёму.
• Для смесей сложены массы вещества и массы растворов, а не проценты.
• Посторонние корни отброшены по здравому смыслу.
• Ответ отвечает именно на вопрос задачи.

Уравнения, которые здесь появляются, — родственники задания 6: там техника отработана в чистом виде. Соседний практический сюжет — вероятности — в задании 4.

Ещё одна задача: смесь и концентрация#

Смешали 4 литра 20-процентного раствора кислоты и 6 литров 45-процентного. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора? Считаем чистую кислоту в каждом объёме: $4\cdot 0,2=0,8$ литра и $6\cdot 0,45=2,7$ литра, всего $3,5$ литра кислоты на $4+6=10$ литров смеси. Концентрация равна $3,5/10=35$ процентов. Метод-скелет один и тот же для любых смесей: отдельно складываем чистое вещество, отдельно — общий объём, и только потом делим. Частая ошибка — усреднение процентов по объёмам «в пропорции на глаз»; для 4 и 6 литров ответ 32,5 процента кажется правдоподобным, но неверен. Табличка из трёх строк (объём, концентрация, чистая кислота) снимает проблему полностью.

Задача на движение: таблица вместо догадок#

Второй большой сюжет десятого задания — движение: навстречу, вдогонку, по реке, туда и обратно. Рабочий инструмент — таблица из трёх столбцов: скорость, время, путь, по строке на каждого участника. Правила заполнения жёсткие: каждая строка обязана удовлетворять $s=v\cdot t$, а неизвестным обозначайте за $x$ то, что спрашивают, — время до встречи, собственную скорость лодки или длину платформы. Уравнение появляется из связи строк: объекты встретились — сумма путей равна исходному расстоянию; лодка вернулась в пункт отправления — пути туда и обратно равны. По реке скорость по течению и против отличаются на удвоенную скорость течения, и эту пару удобно проверять разностью. После решения прогоните найденное $x$ через условие: время не может быть отрицательным, скорость лодки — меньше скорости течения. Такие проверки отсеивают посторонние корни быстрее любого формального отбора.