Задание 11 ЕГЭ по математике (профиль): график производной и функции — разбор с примерами

Одиннадцатый номер — умение читать картинку, а не считать: на рисунке дан график функции $y=f(x)$ или её производной $y=f^{\prime }(x)$, а вопросы всегда однотипны — точки экстремума, промежутки возрастания и убывания, количество целых точек, где производная положительна, наклон касательной. Один первичный балл, ответ — целое число, и почти все потери здесь происходят из одной ошибки: график производной прочитан как график функции, или наоборот.

Мост между двумя рисунками — механический смысл производной: производная положительна там, где функция растёт, отрицательна там, где убывает, и равна нулю в точках горизонтальной касательной. Если этот мост держать в голове, разница между «графиком $f$» и «графиком $f^{\prime }$» перестаёт путаться: у производной спрашивают знак, у функции — поведение. Теория — в термине производная, таблица формул — в шпаргалке производных, соседние сюжеты — в задании 7 и задании 12.

Два рисунка и таблица перевода#

Ловушки одиннадцатого номера#

• Главная ловушка — перепутать, что дано. Подпись на рисунке читайте первым делом: $f(x)$ и $f^{\prime }(x)$ — два разных чертежа с одинаковыми вопросами. Если в условии сказано «изображён график производной», работайте по третьей колонке таблицы, а не по интуиции.
• Нуль производной — не обязательно экстремум: в точке, где $f^{\prime }$ равна нулю, но знак не меняется (как у $y=x^3$ в нуле), функция лишь «притормаживает». Экстремум — это всегда смена монотонности.
• Промежутки возрастания читаются по знаку производной, а не по «высоте» графика: график производной может лежать под осью и расти одновременно — это значит, что функция убывает всё быстрее.
• Считая «целые точки», не забудьте границы: открытый промежуток исключает концы, и включённая на глаз граница добавляет лишнюю точку.
• Точки максимума и минимума — это абсциссы, а не ординаты: в бланк пишется координата $x$, и «красивые» высоты графика ответом не служат.
• Касательная: значение производной в точке касания — это наклон прямой, то есть коэффициент при $x$ в её уравнении, а не координата точки и не свободный член.

Алгоритм решения#

1. 1
   Посмотрите на подпись оси: что изображено — $f(x)$ или $f^{\prime }(x)$? От этого зависит весь ход решения.
2. 2
   Найдите нули: для производной — точки пересечения с осью абсцисс, для функции — точки горизонтальной касательной.
3. 3
   Для каждого нуля посмотрите знак слева и справа: смена «плюс на минус» даёт максимум, «минус на плюс» — минимум, без смены — не экстремум.
4. 4
   Для промежутков возрастания ответьте, где производная положительна (или где сама функция растёт, если дан её график).
5. 5
   Если вопрос про количество точек — аккуратно пересчитайте их по интервалам, выписывая целые числа на бумаге.
6. 6
   Перечитайте вопрос: просят точку (абсциссу), количество точек или длину промежутка — бланк ждёт именно это.

Пример 1. Точки экстремума по графику производной#

Условие: на рисунке изображён график $y=f^{\prime }(x)$ — производной функции $f$, определённой на всей числовой прямой. По графику видно три нуля: $x=-2$, $x=1$ и $x=4$ (картинка ниже построена для $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1)(x-4)$). Знаки производной между нулями чередуются, как у любого кубического трёхчлена с простыми корнями:

В $x=-2$ знак меняется с минуса на плюс — точка минимума. В $x=1$ — с плюса на минус — точка максимума. В $x=4$ — снова с минуса на плюс — вторая точка минимума. Если вопрос «найдите точку максимума», ответ один — $x=1$; если «найдите точки минимума», их две. Промежуток возрастания функции $f$ — это там, где $f^{\prime }>0$: $(-2;1)$ и $(4;+\infty )$.

Пример 2. Сколько целых точек — по шагам#

Условие: функция $f$ определена на отрезке $[-5;5]$, на рисунке изображён график её производной, причём $f^{\prime }(x)>0$ на промежутках $(-5;-1)$ и $(2;5)$, а $f^{\prime }(x)<0$ на $(-1;2)$. Сколько целых точек, в которых производная положительна? Разбор:

Пример 3. Производная по графику функции#

Обратный сюжет: дан график самой функции — на картинке ниже $y=x^3-3x$. По рисунку нужно найти точки, в которых производная равна нулю, и промежутки убывания. Производная равна нулю там, где касательная горизонтальна: вершина горба и дно впадины. Формула подтверждает картинку:

Функция возрастает левее $-1$ и правее $1$, убывает между ними — ровно как показывает наклон касательных на рисунке. Горизонтальная касательная видна в двух точках, и это весь ответ. Проверка по формуле: $3(x-1)(x+1)$ положительна вне корней и отрицательна между ними.

Шесть карточек для повторения#

Чек-лист самопроверки#

• Подпись рисунка проверена: $f$ или $f^{\prime }$.
• Экстремум найден через смену знака производной, а не через «нуль».
• При подсчёте целых точек границы обработаны по скобкам промежутка.
• Ответ — абсцисса точки, если спрашивают точку, и число точек, если спрашивают количество.
• Касательная: в бланк идёт наклон, если спрашивают производную.

Отработайте соседние сюжеты: задание 7 — касательная и механический смысл, задание 12 — исследование формулы без рисунка. Таблица производных для проверки — в шпаргалке.

Три сюжета первой части и их опознавательные знаки#

Одиннадцатое задание крутится вокруг трёх ситуаций, и различать их полезно по сигналу в вопросе. Если на рисунке график производной $f^{\prime }(x)$, а спрашивают про поведение $f$ — ищите нули производной: где $f^{\prime }$ меняет знак с плюса на минус, там точка максимума, с минуса на плюс — минимума. Если дан график самой функции и спрашивают количество целых точек, где $f^{\prime }<0$, — ищите участки убывания и считайте целые абсциссы внутри них. Если же просят найти точку, в которой касательная параллельна данной прямой, — приравняйте угловой коэффициент: производная в искомой точке равна коэффициенту $k$ прямой. Все три сюжета живут на одном факте — производная есть скорость изменения функции, — и путаница возникает только при спешке: перед ответом проговорите, чей график перед вами, функции или её производной. Эта одна фраза предотвращает самый массовый провал задания.