Задание 12 ЕГЭ по математике (профиль): исследование функций — разбор с примерами

Последний номер первой части закрывает её настоящим матанализом: дана функция с формулой, нужно найти наибольшее или наименьшее значение на отрезке — либо точку максимума или минимума. Один первичный балл — как у всех заданий первой части, но именно здесь профильно-математическая механика выходит на сцену: производная, исследование, отбор точек. Балл ставится за верный ответ, а аккуратная выкладка — страховка от арифметической ошибки в самой фактуре.

Полный протокол исследования с выпуклостью и асимптотами — в уроке исследование функций, производные — в таблице производных, пошаговый алгоритм с примерами — в гайде как решать экстремумы. Здесь — механика двенадцатого номера: производная, критические точки, отбор по отрезку.

Ловушки двенадцатого номера#

• Точка экстремума и значение в точке — разные ответы. Просят «наибольшее значение» — нужен $y$, просят «точку минимума» — нужен $x$. Перечитайте вопрос перед бланком.
• Кандидаты на наибольшее/наименьшее: нули производной внутри отрезка плюс оба конца. Забытый конец — самая частая ошибка номера.
• Критические точки, где производная не существует (корни, дроби с нулевым знаменателем), тоже кандидаты — не только нули $f^{\prime }$.
• Логарифмическая функция: у слагаемого $\frac{1}{x+a}$ нулей нет — уравнение $f^{\prime }=0$ может не иметь решений, и тогда ответ сидит на границе отрезка.
• Арифметика со знаками: $f(2)$ при отрицательном $f(-2)$ — классическое место потери минуса. Подставляйте в скобках.

Алгоритм решения#

1. 1
   Выпишите функцию и отрезок. Отметьте концы отрезка — это два гарантированных кандидата.
2. 2
   Найдите производную по таблице производных: степень, произведение, цепочка — правила стандартные.
3. 3
   Приравняйте производную к нулю и решите. Корни вне отрезка — вычеркните сразу.
4. 4
   Подставьте корни внутри отрезка и оба конца в функцию — получите таблицу значений.
5. 5
   Выберите наибольшее или наименьшее — что просят. Для точки экстремума дополнительно проверьте смену знака производной.
6. 6
   Запишите ответ именно в запрошенной форме: значение или абсцисса.

Пример 1. Кубический многочлен на отрезке#

Условие: найдите наименьшее значение функции $y=x^3-3x^2+2$ на отрезке $[-1;4]$. Производная и критические точки:

Считаем значения: $f(-1)=-1-3+2=-2$; $f(0)=2$; $f(2)=8-12+2=-2$; $f(4)=64-48+2=18$. Наименьшее из четырёх — $-2$, причём в двух точках сразу; ответ на вопрос «значение» — просто $-2$.

Обратите внимание: наибольшее значение ($18$) достиглось на конце отрезка, а не в точке максимума $x=0$ со значением $2$. Это не парадокс: локальный максимум — вершина холма, но отрезок продолжается дальше, и правый край выше.

Пример 2. Логарифм и дробь в производной#

Условие: найдите точку минимума функции $y=2x^2-12x+16\ln (x+2)+5$ на отрезке $[\frac{1}{2};2]$. Полный разбор — в интерактиве выше; ключевая строка после приведения к общему знаменателю:

Внутри отрезка производная отрицательна почти везде и обнуляется на правом крае: функция спускается до самого конца. Отсюда важный частный случай: если ноль производной совпал с концом отрезка, экстремум всё равно может быть — но проверяется он по знаку по обе стороны, а не по формальному «точка внутри».

Чек-лист самопроверки#

• Концы отрезка включены в сравнение значений.
• Производная посчитана по правилам: степень, цепочка, дробь.
• Корни производной отобраны по отрезку.
• Для точки экстремума проверена смена знака производной.
• В бланк записан запрошенный вид ответа: значение или абсцисса.

Дальше — вторая часть: задание 13 с тригонометрическими уравнениями и отбором корней. Теорию закрепите в гайде как решать экстремумы и на тренажёре производных.

Разбор второй задачи уровня реального экзамена: наибольшее значение на отрезке#

Условие: найдите наибольшее значение функции $y=x^3-12x+7$ на отрезке $[-3;0]$. Производная: $y^{\prime }=3x^2-12=3(x^2-4)$, нули $x=2$ и $x=-2$. Отбор по отрезку: корень $x=2$ лежит правее нуля и вычёркивается сразу, внутри остаётся только $x=-2$. Кандидаты — внутренняя точка $-2$ и оба конца: $-3$ и $0$.

Таблица значений: $f(-3)=-27+36+7=16$; $f(-2)=-8+24+7=23$; $f(0)=7$. Наибольшее из трёх — $23$; это и есть ответ, ведь вопрос про значение, а не про точку. Знаковая проверка сходится: при $x=-3$ производная равна $3\cdot 9-12=15>0$ — функция растёт, при $x=-1$ она равна $3-12=-9<0$ — убывает; смена плюса на минус в точке $-2$ — вершина холма, и концы отрезка действительно ниже.

Полезно проговорить и структуру ответа. Вопрос «наибольшее значение» требует числа — в бланк идёт $23$; попросили бы «точку наибольшего значения» — писали бы $-2$. Такие пары формулировок в двенадцатом номере чередуются намеренно, и перечитывание вопроса перед записью ответа занимает секунды. Ещё одна минутная страховка — порядок перебора кандидатов: сначала концы отрезка, потом внутренние нули производной; начав с нулей и увлёкшись, концы забывают чаще всего.