Приложения интеграла: площадь, объём, длина дуги
Определённый интеграл — это накопитель: полоска высоты f(x) и ширины dx, просуммированная по всему отрезку. Меняйте то, что копится, — и одна идея становится площадью фигуры, объёмом тела вращения или длиной дуги. Кластер из трёх страниц разбирает каждое приложение с формулами, точной арифметикой и интерактивами.
Площадь фигуры через интеграл: как найти
Площадь фигуры через интеграл: криволинейная трапеция, площадь между кривыми и полярный случай. Формулы, три примера с точными числами и живые графики.
Интерактивы: суммы Римана и живой график серпа с ползунком
Читать разборОбъём тела вращения через интеграл
Объём тела вращения через интеграл: метод дисков и цилиндрических слоёв. Конус, шар и параболоид с точной арифметикой, интерактив с дисками и типичные ошибки.
Интерактивы: тело из дисков в псевдо-3D и сумма Римана «в разрезе»
Читать разборДлина дуги кривой через интеграл
Длина дуги кривой через интеграл: вывод из теоремы Пифагора, параметрический и полярный случаи. Циклоида и кардиоида по шагам, интерактив с ломаной из гипотенуз.
Интерактивы: ломаная из гипотенуз против интеграла и живой график
Читать разборРабота переменной силы через интеграл: как вычислить
Работа переменной силы через интеграл: A = ∫F(x)dx, пружина по закону Гука, откачка воды из резервуара. Три примера с точной арифметикой и живые графики.
Интерактивы:
Читать разборЦентр тяжести плоской фигуры через интеграл: формулы и примеры
Центр тяжести плоской фигуры через интеграл: статические моменты, координаты центра и теорема Гульдина. Треугольник, полукруг и парабола с точной арифметикой.
Интерактивы:
Читать разборДавление жидкости на пластину: задача через интеграл
Давление жидкости на пластину через интеграл: закон Паскаля, вертикальная стенка, треугольная и трапециевидная пластины. Три примера с точной арифметикой.
Интерактивы:
Читать разборПуть при переменной скорости: как найти через интеграл
Путь при переменной скорости через интеграл: s = ∫v dt, скорость из ускорения, средняя скорость и разница между путём и перемещением. Разгон и торможение.
Интерактивы:
Читать разборКакую формулу когда применять
Все три приложения растут из одного корня — суммы полосок, — но путаница между ними делает половину ошибок. Таблица ниже сводит выбор к одному вопросу: что именно копится в задаче?
| Задача | Что копится в полоске | Формула | Когда не применять |
|---|---|---|---|
| Площадь под графиком | высота f(x) | S = ∫f(x)dx | границы не определены или график ныряет под ось без модуля |
| Площадь между кривыми | разность высот f минус g | S = ∫(f − g)dx | кривые пересекаются внутри отрезка, а вы этого не учли |
| Объём вращения, диски | площадь круглого сечения пи эр квадрат | V = π∫f²(x)dx | фигура не прилегает к оси — тогда цилиндрические слои |
| Объём вращения, слои | развёрнутая трубка два пи икс на эф от икс | V = 2π∫x·f(x)dx | профиль удобнее в координате y — тогда диски по y |
| Длина дуги | гипотенуза звена: корень из один плюс эф-штрих квадрат | L = ∫√(1+f′²)dx | кривая задана параметрически или полярно — берите их формулы |
Как устроен кластер
Каждая страница самодостаточна: базовая формула с расшифровкой всех букв, алгоритм по шагам, три разобранных примера с точной арифметикой, интерактивы для проверки на ощупь, сводная таблица, квизы и частые вопросы. Три вывода повторяются в разных декорациях, и второе прочтение стоит вдвое дешевле первого — порядок страниц свободный, но самый дешёвый вход открывает площадь.
Теоретическая база лежит в курсе: урок определённый интеграл и урок неопределённый интеграл. Техника счёта — в разборе как решать интегралы и шпаргалках таблица интегралов и методы интегрирования. Пошаговый счёт конкретного выражения — решатель интегралов.
Частые вопросы
Какая страница кластера нужна первым?
Начните с площади: на ней видна сама механика интеграла — нарезка на полоски и сумма. Объём тела вращения и длина дуги повторяют ту же механику, меняя лишь то, что копится: площадь сечения вместо высоты полоски, гипотенуза звена вместо её самой.
Формулы кластера конфликтуют друг с другом?
Нет, все три выводятся одной идеей и проверяются друг другом. Окружность даёт площадь пи эр квадрат и длину два пи эр по разным формулам кластера; шар собирается из полукруга и согласуется со школьной формулой. Согласованность — лучший признак того, что формулы поняты правильно.
Где посмотреть, как решать такие задачи пошагово?
В каждом материале есть разбор примеров по шагам, а конкретный интеграл можно посчитать в решателе интегралов. Техника интегрирования собрана в разборе «как решать интегралы» и в шпаргалке методов интегрирования.