Давление жидкости на пластину: задача через интеграл

Q: Учитывать ли атмосферное давление?

Атмосфера добавляет $p_0 S$ по всей пластине — одинаковую константу, которая есть и с обратной стороны стенки (воздух, тот же бассейн) и встречно компенсируется. Поэтому в задачах о силе на стенку резервуара атмосферное давление не учитывают: важна лишь разница, а её даёт столб жидкости $\rho g h$.

Давление жидкости на пластину через интеграл: закон Паскаля, вертикальная стенка, треугольная и трапециевидная пластины. Три примера с точной арифметикой.

25 минут 2 интерактиваквизы и FAQ

Аквариум со стеклом в несколько миллиметров держит тонны воды. Хитрость в том, что давление растёт с глубиной: у поверхности оно почти нулевое, у дна — максимум, и «средней температуры» здесь нет. Сила на стенку — интеграл по глубине, и это одна из самых частых прикладных задач на определённый интеграл: её дают на матанализе, в физике и в сопромате.

Ниже — вывод формулы из закона Паскаля, алгоритм из пяти шагов и три примера: прямоугольная стенка бассейна, треугольная и трапециевидная пластины. База: урок определённый интеграл и физический урок гидростатика и гидродинамика.

Закон Паскаля и горизонтальная пластина#

Закон Паскаля: в покоящейся жидкости давление на глубине $h$ равно $p = ρ g h$ , где $ρ$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения. Давление передаётся одинаково во все стороны и не зависит от формы сосуда. Для горизонтальной пластины площади $S$ на глубине $h$ всё просто — давление по всей площади одно и то же:

P = p \cdot S = ρ g h S

сила давления на горизонтальную пластину; давление измеряется в паскалях (

1

Па

= 1

Н/м²), сила — в ньютонах

Числа для разминки: пластина в $1$ м² на глубине $10$ м в воде держит $P = 1000 \cdot 9, 8 \cdot 10 = 98000$ Н — почти десять тонн веса. Каждые десять метров глубины добавляют примерно атмосферу: поэтому на глубине сжимаются пластиковые бутылки, а водолазы следят за барабанными перепонками.

Вертикальная пластина: зачем нужен интеграл#

Стоящая вертикально пластина нарушает идиллию: разные её точки сидят на разной глубине, а значит, под разным давлением. Режем пластину горизонтальными полосками. Полоска на глубине $x$ толщиной $d x$ несёт ширину $b (x)$ , площадь $b (x) d x$ , и давление $ρ g x$ на ней почти постоянно. Порция силы: $d P = ρ g x \cdot b (x) d x$ . Суммируем по всей глубине:

P = ρ g \int_{0}^{H} x b (x) d x

главная формула страницы:

x

— глубина полоски,

b (x)

— её ширина,

H

— глубина нижнего края

Если верхний край пластины утоплен на глубину $a$ , пределы меняются на от $a$ до $a + H$ : глубина $x$ в формуле всегда отсчитывается от поверхности жидкости. Ширина $b (x)$ читается с чертежа: у прямоугольника это константа, у треугольника и трапеции — линейная функция, которая ищется по двум точкам.

Нарисуйте пластину и ось глубины $x$ от поверхности жидкости вниз.
Выпишите ширину полоски $b (x)$ на глубине $x$ из геометрии пластины: линейная ширина восстанавливается по двум точкам.
Поставьте пределы — глубины верхнего и нижнего краёв: от $a$ до $a + H$ .
Соберите интеграл $ρ g \int x b (x) d x$ и найдите первообразную по таблице интегралов.
Проверьте ответ через центр тяжести: $P = ρ g h_{c} S$ , где $h_{c}$ — глубина центра тяжести пластины, $S$ — её площадь.

Сумма Римана: из чего состоит интеграл

Двигай n!

Кривая $y = x \cdot b (x)$ . Увеличивайте число прямоугольников $n$ — ступенчатая фигура прижимается к кривой, а её площадь стремится к настоящему интегралу. Это определение $\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i}$ .

Число прямоугольников n6

Σ площадь

12.042

∫ точно

12.000

Ошибка

0.35%

При n = 200 разница с точным значением почти незаметна — вот почему интеграл «работает».

Пример 1. Стенка бассейна#

Вертикальная стенка шириной $b = 2$ м, верхний край на поверхности, глубина $H = 3$ м. Ширина постоянна: $b (x) = 2$ . Интеграл:

P = ρ g \int_{0}^{3} 2 x d x = ρ g [x^{2}]_{0}^{3} = 1000 \cdot 9, 8 \cdot 9 = 88200

ньютонов, то есть

88, 2

кН — вес двух легковых автомобилей давит на одну стенку

Проверка через среднюю глубину: давление линейно по $x$ , средняя глубина равна $H /2 = 1, 5$ м, среднее давление $ρ g \cdot 1, 5 = 14700$ Па, на площадь $2 \cdot 3 = 6$ м² выходит $14700 \cdot 6 = 88200$ Н. Интеграл и среднее сошлись: для линейной функции среднее значение сидит ровно посередине. Отсюда мнемоника для прямоугольной стенки — считайте давление на глубине $H /2$ и умножайте на всю площадь, фактор $\frac{1}{2}$ уже внутри.

Пример 2. Треугольная пластина#

Равнобедренный треугольник основанием $b = 4$ м погружён вершиной вниз: основание лежит на поверхности, вершина — на глубине $H = 3$ м. Ширина на глубине $x$ линейно убывает от $4$ до $0$ : $b (x) = 4 (1 - \frac{x}{3})$ . Считаем:

P = ρ g \int_{0}^{3} x \cdot 4 (1 - \frac{x}{3}) d x = ρ g \cdot 4 [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{9}]_{0}^{3} = ρ g \cdot 6 = 58800

ньютонов:

\int_{0}^{3} (x - \frac{x ^{2}}{3}) d x = 1, 5

, умножение на

4

и на

ρ g

даёт ответ

Перекрёстная проверка через центр тяжести: площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ м², а центр тяжести треугольника отстоит от основания на треть высоты — он сидит на глубине $H /3 = 1$ м. Тогда $P = ρ g \cdot 1 \cdot 6 = 58800$ Н — согласие до ньютона. Заметьте, как много интеграла съедает одна теорема: для известной формы задача превращается в одно умножение.

Пример 3. Трапециевидная пластина#

Пластина в форме трапеции: верхняя сторона $a = 4$ м на поверхности, нижняя $b = 2$ м на глубине $H = 3$ м. Ширина линейна: $b (x) = 4 - \frac{2 x}{3}$ — при $x = 0$ выходит $4$ , при $x = 3$ выходит $2$ , как и заказано. Интеграл:

P = ρ g \int_{0}^{3} x (4 - \frac{2 x}{3}) d x = ρ g [2 x^{2} - \frac{2 x ^{3}}{9}]_{0}^{3} = ρ g \cdot 12 = 117600

ньютонов:

\int_{0}^{3} (4 x - \frac{2 x ^{2}}{3}) d x = 18 - 6 = 12

, и сила —

ρ g

на этот «объём эпюры»

Проверка через центр тяжести трапеции: площадь $S = \frac{4 + 2}{2} \cdot 3 = 9$ м², глубина центра тяжести от верхнего основания $h_{c} = \frac{H}{3} \cdot \frac{a + 2 b}{a + b} = 1 \cdot \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ м. Выходит $P = ρ g \cdot \frac{4}{3} \cdot 9 = ρ g \cdot 12 = 117600$ Н. Два независимых пути сошлись — интеграл посчитан верно.

Трапеция красиво распадается на куски: прямоугольник $2 \times 3$ давит как стенка из примера 1 — $88200$ Н, а достроенный сверху треугольник с основанием $2$ м добавляет $ρ g \cdot 2 \cdot 1, 5 = 29400$ Н. Вместе — $117600$ Н. Интеграл не против разбиений, а за них: любую составную пластину считайте по кускам и складывайте ответы.

Давление по глубине: ползунок плотности

Живой график

Закон Паскаля $p = ρ g h$ — прямая, наклон которой задаёт жидкость. Ползунок $ρ$ меняет плотность от $700$ (бензин) до $13600$ (ртуть) кг/м³. На глубине $3$ м вода даёт $p = 1000 \cdot 9, 8 \cdot 3 = 29400$ Па, морская вода ( $ρ = 1030$ ) — $30282$ Па, а ртуть — $399840$ Па: тринадцать с лишним атмосфер за три метра.

rho =1000

Тяните ползунки — график перестраивается мгновенно.

Формулы силы давления в одном месте#

Пластина	Ширина $b(x)$	Сила $P$
Горизонтальная на глубине $h$	вся на одной глубине	$ρ g h S$
Прямоугольник $b \times H$ , край у поверхности	$b$	$\frac{ρ g b H ^{2}}{2}$
Треугольник, основание у поверхности	$b (1 - \frac{x}{H})$	$\frac{ρ g b H ^{2}}{6}$
Трапеция: $a$ сверху, $b$ снизу	$a - (a - b) \frac{x}{H}$	$\frac{ρ g H ^{2} ( a + 2 b )}{6}$

Типовые пластины с верхним краем на поверхности и глубиной

H

; для утопленного края пределы сдвигаются

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Физика плавания и приборов давления — в уроке гидростатика и гидродинамика, координаты центров тяжести пластин — в соседней странице центр тяжести плоской фигуры, техника интегрирования степенных функций — в тренажёре интегралов. Обзор всех приложений — на странице кластера; продолжение того же метода — объём тела вращения и работа переменной силы.

Проверь себя+10 XP

Давление воды на глубине $10$ м ( $ρ = 1000$ кг/м³, $g = 9, 8$ м/с²) равно…

Проверь себя+10 XP

Вертикальная квадратная пластина $1 \times 1$ м с верхним краем на поверхности. Сила давления воды на неё равна…

Проверь себя+10 XP

Почему силу на вертикальную пластину можно считать как $P = ρ g h_{c} S$ — давление в центре тяжести на всю площадь?

Частые вопросы

Чем давление отличается от силы давления?

Давление — сила на единицу площади, оно измеряется в паскалях и от размеров пластины не зависит: $p = ρ g h$ . Сила — интеграл давления по площади, она в ньютонах и растёт и с глубиной, и с размерами. В задачах спрашивают обычно силу, а давление — её строительный блок.

Что делать, если пластина наклонена?

Перейдите к глубине: точка пластины, отстоящая на $l$ вдоль наклона, сидит на глубине $x = l sin α$ , где $α$ — угол к горизонту. В формуле появляется множитель: $P = ρ g sin α \int l b (l) d l$ . Для вертикальной пластины $sin α = 1$ , для горизонтальной сила считается без интеграла.

Учитывать ли атмосферное давление?

Атмосфера добавляет $p_{0} S$ по всей пластине — одинаковую константу, которая есть и с обратной стороны стенки (воздух, тот же бассейн) и встречно компенсируется. Поэтому в задачах о силе на стенку резервуара атмосферное давление не учитывают: важна лишь разница, а её даёт столб жидкости $ρ g h$ .

Где эта задача применяется в жизни?

Прочность стенок бассейнов, шлюзов, плотин и аквариумов, расчёт люков, затворов и обшивки судов — везде, где вертикальная поверхность держит столб жидкости. Инженерная эпюра нагрузки — это ровно график $x \cdot b (x)$ , который вы интегрируете; по ней же подбирают арматуру и толщину стекла.