Центр тяжести плоской фигуры через интеграл: формулы и примеры

Q: Чем центр тяжести отличается от центра масс и центроида?

Для однородной пластины это одна и та же точка под тремя именами. Центр масс учитывает распределение плотности и живёт в физике, центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, центроид — чисто геометрическое понятие для фигуры без массы. В однородной плоской задаче все три совпадают, и формулы выше называют любым из этих слов.

Q: Что меняется, если плотность пластины непостоянна?

В формулах появляется плотность $\mu$: масса полоски равна $\mu f\,dx$, и моменты считаются с этим весом: $x_c = \frac{\int x \mu f\,dx}{\int \mu f\,dx}$. Плотная часть перетягивает центр в свою сторону — как толстый край картошки. При постоянной плотности множитель сокращается, и остаются привычные формулы.

Q: Как найти центр тяжести фигуры между двумя кривыми?

Замените высоту полоски $f(x)$ на разность $f(x) - g(x)$: площадь и $M_y$ считаются с этой разностью, а в $M_x$ полоска несёт центр на высоте $\frac{f + g}{2}$, поэтому $M_x = \frac{1}{2}\int\bigl(f^2 - g^2\bigr)dx$. Формулы переносятся дословно — меняется лишь высота полоски.

Q: Зачем центр тяжести нужен за пределами задачника?

Конструкторы ищут центр тяжести сечений балок, чтобы считать изгиб, мосты балансируют пролётами вокруг него, а у ракеты смещение центра тяжести относительно центра давления решает, полетит она ровно или завернёт. Теорема Гульдина, кроме того, даёт самый быстрый путь к объёмам вращения сложных профилей.

Центр тяжести плоской фигуры через интеграл: статические моменты, координаты центра и теорема Гульдина. Треугольник, полукруг и парабола с точной арифметикой.

25 минут 2 интерактиваквизы и FAQ

У картошки, вырезанной из плоского листа, есть волшебная точка: подставь под неё палец — фигура замрёт в равновесии. Это центр тяжести. У прямоугольника он в пересечении диагоналей, у круга — в центре. Но возьмите криволинейный клин или пластину с параболическим краем — школьная геометрия молчит. Интеграл находит точку равновесия для любой фигуры, заданной кривой.

Ниже — система из четырёх формул (площадь, два статических момента, две координаты), три примера с точной арифметикой, теорема Гульдина и два интерактива. База: урок определённый интеграл и страница кластера площадь фигуры через интеграл — площадь здесь служит знаменателем.

Статические моменты: что взвешивает интеграл#

Разрежем фигуру под кривой $y = f (x)$ на вертикальные полоски ширины $d x$ . Полоска в точке $x$ несёт площадь $f (x) d x$ , её собственный центр лежит примерно на высоте $f (x) /2$ и на расстоянии $x$ от оси $O y$ . Момент — это «площадь, умноженная на плечо». Складывая моменты полосок и переходя к пределу, получаем два статических момента:

M_{x} = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x, M_{y} = \int_{a}^{b} x f (x) d x

M_{x}

считает плечи по вертикали,

M_{y}

— по горизонтали; у каждой полоски два плеча, потому и две формулы

Координаты центра тяжести — моменты, поделённые на площадь $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ :

x_{c} = \frac{M _{y}}{S} = \frac{\int _{a}^{b} x f ( x ) d x}{\int _{a}^{b} f ( x ) d x}, y_{c} = \frac{M _{x}}{S} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\int _{a}^{b} f ^{2} ( x ) d x}{\int _{a}^{b} f ( x ) d x}

центр тяжести — взвешенное среднее: каждая полоска голосует своей площадью и своим плечом

Читается формула просто: $x_{c}$ — среднее значение $x$ по фигуре, где все точки равноправны. Отсюда бесплатная проверка на симметрию: фигура, симметричная относительно вертикальной оси, имеет $x_{c}$ на этой оси, потому что голоса левой и правой половин взаимно гасятся. Именно поэтому у полукруга $x_{c} = 0$ , и вся нетривиальная работа — с ординатой.

Проверьте симметрию: ось симметрии сразу задаёт одну координату — центр лежит на ней.
Найдите площадь $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ — это знаменатель обеих формул.
Посчитайте моменты: $M_{y} = \int_{a}^{b} x f (x) d x$ и $M_{x} = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ по таблице интегралов.
Разделите: $x_{c} = M_{y} / S$ , $y_{c} = M_{x} / S$ . Контроль: точка обязана лежать внутри фигуры.

Пример 1. Треугольник под прямой#

Фигура под прямой $y = x$ на отрезке $[0, h]$ — прямоугольный треугольник с катетами $h$ по обеим осям. Считаем по порядку: площадь $S = \int_{0}^{h} x d x = \frac{h ^{2}}{2}$ ; момент $M_{y} = \int_{0}^{h} x \cdot x d x = \frac{h ^{3}}{3}$ ; момент $M_{x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{h} x^{2} d x = \frac{h ^{3}}{6}$ . Делим:

x_{c} = \frac{h ^{3} /3}{h ^{2} /2} = \frac{2 h}{3}, y_{c} = \frac{h ^{3} /6}{h ^{2} /2} = \frac{h}{3}

классический ответ: центр тяжести треугольника лежит на высоте

h /3

, отсчитанной от основания

Проверка школьной геометрией: центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ от вершины. Для треугольника с вершинами $(0, 0)$ , $(h, 0)$ , $(h, h)$ медианы сходятся в точке $(\frac{0 + h + h}{3}, \frac{0 + 0 + h}{3}) = (\frac{2 h}{3}, \frac{h}{3})$ — интеграл и медианы согласны. При $h = 3$ это точка $(2; 1)$ .

Треугольник с ползунком наклона

Живой график

Фигура под прямой $y = k x$ на $[0; 1]$ . Ползунок $k$ меняет наклон гипотенузы: площадь равна $k /2$ , абсцисса центра $x_{c} = 2/3$ не зависит от $k$ , а ордината $y_{c} = k /3$ растёт линейно. При $k = 1$ центр в точке $(2/3; 1/3)$ , при $k = 3$ — в $(2/3; 1)$ : подвигайте ползунок и убедитесь, что вертикальная координата кочует, а горизонтальная приросла к месту.

k =1

Тяните ползунки — график перестраивается мгновенно.

Пример 2. Полукруг#

Полудиск радиуса $R$ над осью: $y = R^{2} - x^{2}$ на $[- R, R]$ . Симметрия сразу даёт $x_{c} = 0$ . Площадь — половина круга: $S = \frac{π R ^{2}}{2}$ . Момент: $M_{x} = \frac{1}{2} \int_{- R}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 R ^{3}}{3} = \frac{2 R ^{3}}{3}$ . Ордината:

y_{c} = \frac{2 R ^{3} /3}{π R ^{2} /2} = \frac{4 R}{3 π} \approx 0, 4244 R

знаменитая константа

\frac{4}{3 π}

; при

R = 1

м центр тяжести стоит на высоте

\approx 0, 42

Заметьте: центр тяжести полукруга заметно ниже «наивной» середины радиуса $0, 5 R$ — широкая нижняя часть фигуры перевешивает. При $R = 2$ м высота составит $\frac{8}{3 π} \approx 0, 85$ м. Константа $\frac{4}{3 π}$ — рабочая лошадка строительных задач: арки, своды и цистерны-полуцилиндры считаются именно через неё.

Пример 3. Параболический сегмент#

Фигура под параболой $y = x^{2}$ на $[0, 1]$ . Все три интеграла — табличные: $S = \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ ; $M_{y} = \int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4}$ ; $M_{x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{4} d x = \frac{1}{10}$ . Делим моменты на площадь:

x_{c} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}, y_{c} = \frac{1/10}{1/3} = \frac{3}{10}

точка

(0, 75; 0, 3)

— обе координаты рациональны, ответ годится для контрольной

Санитарная проверка: парабола прижата к оси и к правому краю, поэтому центр тяжести смещён вправо ( $0, 75 > 0, 5$ ) и вниз ( $0, 3 < 0, 5$ ) относительно центра единичного квадрата. Обе координаты лежат внутри фигуры — как и положено точке равновесия выпуклой области.

Теорема Гульдина: объём через центр тяжести#

Теорема Паппа — Гульдина связывает две темы кластера: тело вращения от фигуры площадью $S$ с центром тяжести на расстоянии $d$ от оси имеет объём $V = 2 π d S$ — путь, пройденный центром, умноженный на площадь. Формула работает в обе стороны: зная объём, находим центр тяжести, и наоборот.

Проверка на полукруге из примера 2. Раскрутим полудиск радиуса $R$ вокруг диаметра — получится шар. Гульдин утверждает: $V = 2 π y_{c} S = 2 π \cdot \frac{4 R}{3 π} \cdot \frac{π R ^{2}}{2} = \frac{4 π R ^{3}}{3}$ — формула шара сошлась с центром тяжести до последнего множителя. При $R = 1$ это $\frac{4 π}{3} \approx 4, 1888$ , и никакой отдельной интеграции объёма не понадобилось.

Риман в двух измерениях: сумма столбиков

Двойной интеграл

Прямоугольник $D = [a, b] \times [c, d]$ режется сеткой $n \times n$ , над каждой ячейкой площади $Δ S = Δ x Δ y$ стоит столбик высоты $f (x^{*}, y^{*})$ в её центре. Сумма объёмов столбиков — интегральная сумма $\sum f \cdot Δ S$ : ползунок $n$ измельчает разбиение, и она сходится к $\iint_{D} f d S$ .

Область D: сетка 6 × 6 · Δx = 0,167 · Δy = 0,167 · ΔS = 0,028

Наведите курсор или коснитесь ячейки — покажу её координаты, высоту f и вклад в сумму.

36 столбиков от z = 0 до z = f(x*, y*) · зелёный каркас — поверхность z = f(x, y)

Сетка разбиения n × n6 × 6

Пресеты (меняют функцию и прямоугольник)

Ячеек · 6×6

Сумма Σ f·ΔS

0,500

Точное ≈ (n = 40)

0,500

Расхождение

<0,01%

Слева тепловая карта высот: синий — малые и отрицательные f, оранжевый — большие. Справа зелёный каркас — настоящая поверхность: с ростом n ступеньки прижимаются к ней, а расхождение с эталоном тает.

Центры тяжести типовых фигур#

Фигура	Центр тяжести	Проверка
Треугольник под $y = x$ на $[0; h]$	$(\frac{2 h}{3}; \frac{h}{3})$	медианы дают ту же точку
Полукруг радиуса $R$	$(0; \frac{4 R}{3 π})$	$\approx (0; 0, 4244 R)$
Парабола $y = x^{2}$ на $[0; 1]$	$(\frac{3}{4}; \frac{3}{10})$	смещение вправо и вниз от центра квадрата
Прямоугольник $a \times b$	$(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$	пересечение диагоналей

Центры тяжести типовых фигур: интеграл против школьной геометрии

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Физическую версию понятия разбирает термин центр тяжести, а родственный центр масс объясняет разницу между ними. Технику интегрирования степенных функций тренирует тренажёр интегралов. Применение теоремы Гульдина к объёмам — в странице объём тела вращения, геометрия кривых — в длине дуги; обзор всех приложений — на странице кластера.

Проверь себя+10 XP

Фигура под $y = 1$ на отрезке $[0; 2]$ — прямоугольник. Его $x_{c}$ равен…

Проверь себя+10 XP

Диск радиуса $r = 1$ вращают вокруг оси, отстоящей от его центра на $d = 3$ . Объём тора по теореме Гульдина равен…

Проверь себя+10 XP

Почему в формуле для $y_{c}$ стоит множитель $\frac{1}{2}$ перед интегралом $f^{2}$ ?

Частые вопросы

Чем центр тяжести отличается от центра масс и центроида?

Для однородной пластины это одна и та же точка под тремя именами. Центр масс учитывает распределение плотности и живёт в физике, центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести, центроид — чисто геометрическое понятие для фигуры без массы. В однородной плоской задаче все три совпадают, и формулы выше называют любым из этих слов.

Что меняется, если плотность пластины непостоянна?

В формулах появляется плотность $μ$ : масса полоски равна $μ f d x$ , и моменты считаются с этим весом: $x_{c} = \frac{\int xμ f d x}{\int μ f d x}$ . Плотная часть перетягивает центр в свою сторону — как толстый край картошки. При постоянной плотности множитель сокращается, и остаются привычные формулы.

Как найти центр тяжести фигуры между двумя кривыми?

Замените высоту полоски $f (x)$ на разность $f (x) - g (x)$ : площадь и $M_{y}$ считаются с этой разностью, а в $M_{x}$ полоска несёт центр на высоте $\frac{f + g}{2}$ , поэтому $M_{x} = \frac{1}{2} \int (f^{2} - g^{2}) d x$ . Формулы переносятся дословно — меняется лишь высота полоски.

Зачем центр тяжести нужен за пределами задачника?

Конструкторы ищут центр тяжести сечений балок, чтобы считать изгиб, мосты балансируют пролётами вокруг него, а у ракеты смещение центра тяжести относительно центра давления решает, полетит она ровно или завернёт. Теорема Гульдина, кроме того, даёт самый быстрый путь к объёмам вращения сложных профилей.