Площадь фигуры через интеграл: как найти

Лист бумаги весит пару граммов, и его площадь считают в третьем классе. А теперь положите на стол график, у которого верхняя граница — не прямая, а кривая: сколько «бумаги» под ним? Школьные формулы молчат — ни треугольника, ни трапеции тут нет. Интеграл закрывает вопрос разом, для любой разумной кривой, и делает это точно, а не «на глаз».

Ниже — полная инструкция: одна базовая формула, три её формы (явная, параметрическая, полярная), три разобранных примера с точной арифметикой и два интерактива. Теория определённого интеграла лежит в уроке определённый интеграл, техника интегрирования — в разборе как решать интегралы; здесь же — практика площади.

Площадь криволинейной трапеции: базовая формула#

Фигуру под графиком называют криволинейной трапецией: сверху — график непрерывной неотрицательной функции $f(x)$, снизу — ось $Ox$, с боков — вертикали $x=a$ и $x=b$. Прямой формулы для неё нет, зато работает предел сумм. Нарежем отрезок $[a,b]$ на полоски ширины $\Delta x$, в каждой возьмём высоту $f(\xi )$ в какой-нибудь точке полоски и сложим вклады $f(\xi )\Delta x$. Устремим ширину полосок к нулю — сумма сходится к числу, которое называется определённым интегралом.

В формуле четыре буквы, и у каждой своё место. $f(x)$ — высота полоски в точке $x$. $dx$ — ширина полоски, ставшая бесконечно малой. $a$ и $b$ — границы: без них площадь бессмысленна, «площадь под графиком вообще» не определена, она всегда между чем-то. Если $f$ непрерывна и не опускается ниже оси на $[a,b]$, то интеграл существует и равен площади, а считает его формула Ньютона–Лейбница:

Термин интеграл и его накопительный смысл полезно держать в голове: площадь — это «высота, умноженная на ширину», просуммированная по всем полоскам. Отсюда и рабочий алгоритм.

1. 1
   Определите пределы $a$ и $b$ — границы фигуры по оси $x$. Обычно они заданы условием; если фигура зажата кривыми — это точки их пересечения (шаг разобран в примере 2).
2. 2
   Проверьте знак: если $f(x)\ge 0$ на всём отрезке, площадь равна интегралу напрямую. Заходы графика под ось обрабатываются отдельно — раздел «Если график ныряет под ось» ниже.
3. 3
   Найдите первообразную $F$ по таблице интегралов; не табличные случаи разбираются в шпаргалке методы интегрирования.
4. 4
   Подставьте пределы: ответ $F(b)-F(a)$. Прикиньте его на глаз: площадь обязана быть меньше площади описывающего прямоугольника $(b-a)\cdot \max f$.

Пример 1. Площадь под параболой#

Пусть $f(x)=x^2$ на отрезке от $0$ до $3$. Функция неотрицательна, границы заданы — первые два шага пройдены. Первообразная: $F(x)=\frac{x^3}{3}$. Тогда

Контроль на глаз: описывающий прямоугольник имеет размеры $3\times 9$, то есть площадь $27$, и кривая отсекает от него ровно треть. График параболы именно это и показывает — цифры и картинка согласны. Заметьте, как дёшево достался ответ: одна строка счёта после того, что вручную было бы бесконечной нарезкой прямоугольников. В этом весь смысл интеграла: он делает за вас предельный переход.

Площадь между кривыми: верхняя минус нижняя#

Если область зажата между двумя графиками, из высоты верхней кривой на каждом кусочке вычитается высота нижней — полоска получает высоту $f(x)-g(x)$.

Границы $a$ и $b$ здесь — точки пересечения кривых, их находят из уравнения $f(x)=g(x)$. Пропустить лишнее пересечение — классическая ошибка: в нём кривые меняются местами, и «верхняя минус нижняя» начинает давать минус, который незаметно съедает площадь.

Пример 2. Серп между прямой и параболой

Кривые $y=2x$ и $y=x^2$. Пересечения: $2x=x^2$, то есть $x(2-x)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$. На интервале $(0,2)$ прямая выше параболы — проверка в точке $x=1$: $2>1$. Значит,

Площадь вышла меньше двух — и серп на графике действительно тонкий. Прикинуть порядок ответа до счёта — привычка, которая ловит половину всех ошибок со знаками и пределами.

Пример 3. Корень против параболы: симметричный серп

Кривые $y=\sqrt{x}$ и $y=x^2$ на отрезке $[0,1]$. Пересечения: $\sqrt{x}=x^2$ даёт $x=x^4$, то есть $x=0$ и $x=1$. На всём отрезке корень выше — проверка в точке $x=\frac{1}{4}$: $\frac{1}{2}>\frac{1}{16}$. Считаем:

Здесь спрятан красивый факт. Кривые $y=\sqrt{x}$ и $y=x^2$ взаимно обратны — они симметричны относительно диагонали $y=x$ единичного квадрата. Диагональ делит квадрат на две половины по $\frac{1}{2}$, а кривые режут каждую половину ещё пополам: под параболой $\frac{1}{3}$, серп $\frac{1}{3}$, над корнем $\frac{1}{3}$. Три равные части без единого чертежа — только интегралы ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ и ${\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$.

Если график ныряет под ось#

Интеграл от функции, уходящей ниже $Ox$, считает площадь со знаком: положительные куски дают плюс, отрицательные — минус. Геометрическая площадь требует модуля: $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. Практический приём — разбить отрезок нулями функции и на каждом куске интегрировать отдельно, разворачивая знак руками.

Проверим на синусе: $y=\sin x$ на $[0,\pi ]$ даёт ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=1+1=2$ — ровно два квадратика под первой аркой. На $[\pi ,2\pi ]$ тот же интеграл равен $-2$: фигура под осью, площадь со знаком отрицательна, а геометрическая площадь снова $2$.

Параметрическая и полярная формы#

Кривая не всегда удобна в виде $y=f(x)$: окружность естественнее задать параметрически, розу — полярным уравнением. Формулы меняются, идея («высота на ширину, просуммировать») — нет. Если кривая задана параметрически: $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t$ от $\alpha$ до $\beta$, и движение идёт влево-вправо без возвратов ($x^{\prime }(t)\ge 0$), то

Для полярной кривой $r=r(\theta )$ площадь сектора, заметаемого между лучами $\theta =\alpha$ и $\theta =\beta$, считается по формуле с половинкой:

Мгновенная проверка — окружность $r=2$ целиком: $S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }4d\theta =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\pi =4\pi \approx 12,5664$. Школьная $\pi R^2$ при $R=2$ даёт те же $4\pi$ — формулы согласованы. Полярные площади с кардиоидой и розами подробно разобраны в уроке приложения определённого интеграла.

Формулы площади в одном месте#

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Глаз на тип интеграла натренирует тренажёр интегралов: там задача — узнать табличный интеграл с одного взгляда. Живые разборы — в разделе задачи на интегралы, пошаговый счёт конкретного выражения — решатель интегралов. Соседние страницы кластера продолжают ту же идею в трёх измерениях и вдоль кривой: объём тела вращения через интеграл и длина дуги кривой через интеграл. Обзор всех приложений — на странице кластера.