Длина дуги кривой через интеграл

Сколько метров проволоки уйдёт на дугу параболы? Линейка здесь бессильна: прижать её к кривой можно только бесконечно малыми кусочками. Именно так и рождается формула длины дуги — кусочек кривой заменяется хордой, хорда считается по теореме Пифагора, а интеграл складывает миллионы таких кусочков. Формула короткая, но её вывод — самый наглядный во всём интегральном исчислении.

Ниже — вывод через вписанную ломаную, три формы формулы (явная, параметрическая, полярная), три примера с точной арифметикой и интерактив, где ломаная на глазах сходится к точному значению. База: урок определённый интеграл и таблица производных — без $f^{\prime }$ здесь никуда.

Вывод: вписываем ломаную и считаем гипотенузы#

Разобьём дугу графика $y=f(x)$ от $x=a$ до $x=b$ точками на звенья и соединим их хордами. Длина одного звена — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $\Delta x$ и $\Delta y$:

Отношение $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ при стягивании звена превращается в производную $f^{\prime }(x)$ — ту самую, что ищется по правилам дифференцирования. Сумма длин всех звеньев при измельчении нарезки сходится к интегралу:

Ломаная, вписанная в кривую, всегда короче самой дуги — неравенство треугольника гарантирует. Поэтому частичные суммы подходят к ответу снизу, и рост числа звеньев монотонно наращивает длину. Интерактив ниже показывает это вживую.

Пример 1. Полукубическая парабола#

Кривая $y=x^{3/2}$ на отрезке $[0,1]$ — классический пример: все числа выходят точными. Производная: $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$, значит $(f^{\prime }{)}^2=\frac{9}{4}x$ и под корнем стоит линейная функция:

Первообразная считается подведением под знак дифференциала: $\int \sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx=\frac{8}{27}{\left(1+\frac{9}{4}x\right)}^{3/2}$. Подставляем пределы: при $x=1$ скобка равна $\frac{13}{4}$, её степень $\frac{3}{2}$ — это $\frac{13^{3/2}}{8}$; при $x=0$ — просто $1$. Итого

Хорда между концами дуги — отрезок от $(0,0)$ до $(1,1)$, её длина $\sqrt{2}\approx 1,4142$. Дуга длиннее хорды почти на два процента: кривая $y=x^{3/2}$ на этом отрезке лишь слегка отклоняется от прямой, поэтому и зазор мал. Дополнительная проверка: число $1,4397$ лежит между длиной хорды $\sqrt{2}$ и длиной ступенчатого каркаса $1+1=2$, как и положено дуге.

Проверка на прямой линии#

Прежде чем доверять формуле, ткните её в тривиальный случай. Для отрезка прямой $y=2x$ от $0$ до $1$: $f^{\prime }=2$, под корнем $1+4=5$, и $L={\int }_0^1\sqrt{5}dx=\sqrt{5}\approx 2,2361$. Пифагор для катетов $1$ и $2$ даёт в точности $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$. Формула длины дуги — это и есть Пифагор, размазанный по всей кривой; на прямой она обязана вырождаться в школьную гипотенузу, и она вырождается.

Параметрическая кривая#

Если кривая задана параметрически: $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t$ от $\alpha$ до $\beta$, то звено ломаной имеет катеты $\Delta x\approx x^{\prime }(t)\Delta t$ и $\Delta y\approx y^{\prime }(t)\Delta t$. Пифагор снова собирает формулу:

Проверка — четверть окружности: $x=\cos t$, $y=\sin t$, $t$ от $0$ до $\frac{\pi }{2}$. Производные $x^{\prime }=-\sin t$, $y^{\prime }=\cos t$, их квадраты в сумме дают $1$, и $L={\int }_0^{\pi /2}dt=\frac{\pi }{2}\approx 1,5708$ — четверть длины окружности $2\pi R$ при $R=1$. Формула честно воспроизвела геометрию.

Пример 2. Арка циклоиды

Циклоида — след точки обода катящегося колеса: $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$, $t$ от $0$ до $2\pi$. Производные: $x^{\prime }(t)=1-\cos t$, $y^{\prime }(t)=\sin t$. Сумма квадратов:

Дальше половинный угол: $2-2\cos t=4{\sin }^2\frac{t}{2}$, и корень равен $2\left|\sin \frac{t}{2}\right|$. На $[0,2\pi ]$ синус половинного угла неотрицателен, модуль можно снять:

Ответ ровно $8$ — целое число из такой кривоватой на вид кривой. Классика жанра: циклоида прячает в себе массу аккуратных ответов, за что её любили математики семнадцатого века.

Полярная кривая#

Для кривой $r=r(\theta )$ удобнее перейти к параметрической записи $x=r(\theta )\cos \theta$, $y=r(\theta )\sin \theta$ и свернуть всё в одну формулу:

Пример 3. Длина кардиоиды

Кардиоида $r=1+\cos \theta$, полный оборот $\theta$ от $0$ до $2\pi$. Производная $r^{\prime }=-\sin \theta$, и под корнем:

Корень равен $2\left|\cos \frac{\theta }{2}\right|$ — с модулем, потому что косинус половинного угла отрицателен там, где $\frac{\theta }{2}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$, то есть на $\theta \in (\pi ,2\pi )$. Разбиваем интеграл в точке $\pi$ и на втором куске меняем знак:

Забавное совпадение: кардиоида $r=1+\cos \theta$ и арка циклоиды при $R=1$ обе имеют длину $8$. Совпадение случайное, но запоминается отлично. Заметьте технику: без модуля интеграл от $2\cos \frac{\theta }{2}$ по всему обороту дал бы $0$ — длина не может быть нулём, значит, где-то потерян знак. Модуль в длине дуги — не формальность, а рабочая деталь.

Формулы длины дуги в одном месте#

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Производные, без которых не собрать подкоренное выражение, тренирует тренажёр производных; более продвинутые интегралы, включая корни из квадратичных выражений, — тренажёр интегралов-2. Пошаговый счёт конкретного интеграла — решатель интегралов, разборы — в задачах на интегралы. Криволинейные интегралы — следующая ступень: урок криволинейные интегралы. Соседи по кластеру: площадь фигуры через интеграл и объём тела вращения; обзор — на странице кластера.