Объём тела вращения через интеграл

Гончар ставит мокрый ком глины на круг, и вращение превращает его в чашу. Математика повторяет фокус: возьмите кривую $y=f(x)$ и раскрутите её вокруг оси — получится тело вращения, от конуса до вазы. Школьных формул для вазы нет, а интеграл справляется с любой. И делает это той же нарезкой на полоски, что и площадь, только теперь каждая полоска несёт объём.

Страница — полный разбор метода дисков и метода цилиндрических слоёв: откуда берутся формулы, три примера с точной арифметикой, два интерактива и сводная таблица. Нужная база — урок определённый интеграл и разбор как решать интегралы.

Метод дисков: режем тело поперёк оси#

Пусть $f(x)\ge 0$ на $[a,b]$ и кривая вращается вокруг оси $Ox$. Разрежем получившееся тело плоскостями, перпендикулярными оси: сечение в точке $x$ — круг радиуса $f(x)$, его площадь $\pi f^2(x)$. Тонкий ломтик толщины $\Delta x$ — почти цилиндрик, его объём $\pi f^2(x)\Delta x$. Складываем ломтики и устремляем толщину к нулю:

Формула похожа на формулу площади, но функция стоит в квадрате — и это не опечатка. В площади полоска имела высоту $f(x)$; в объёме сечение — круг, а площадь круга растёт как квадрат радиуса. Отсюда же требование $f(x)\ge 0$: радиус отрицательным не бывает, для графика под осью берите $|f(x)|$.

1. 1
   Нарисуйте профиль и ось вращения; найдите пределы $a$ и $b$ по оси, вдоль которой крутится кривая.
2. 2
   Выпишите радиус сечения: это $f(x)$ для вращения вокруг $Ox$. Проверьте, что радиус неотрицателен на всём отрезке.
3. 3
   Возведите в квадрат и соберите интеграл $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$; первообразная — по таблице интегралов.
4. 4
   Посчитайте и сравните с известной формулой, если тело простое: конус $\frac{1}{3}\pi R^{2}h$, шар $\frac{4}{3}\pi R^3$, цилиндр $\pi R^{2}h$ — лучшая проверка метода.

Пример 1. Конус из прямой линии#

Прямая $y=\frac{x}{2}$ на отрезке $[0,4]$ при вращении вокруг $Ox$ даёт конус высоты $h=4$ с радиусом основания $R=\frac{4}{2}=2$. Метод дисков:

Сверим со школьной формулой: $\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 4=\frac{16\pi }{3}$. Совпало до последнего знака — интеграл не противоречит школьной геометрии, а выводит её формулу из общего принципа. Любой усечённый конус (профиль — отрезок между двумя высотами) считается тем же способом за полминуты.

Пример 2. Шар из полуокружности#

Полуокружность $y=\sqrt{4-x^2}$ на $[-2,2]$ при вращении вокруг $Ox$ заметает шар радиуса $R=2$. Радиус сечения в точке $x$ равен $\sqrt{4-x^2}$, квадрат радиуса — $4-x^2$:

Проверка формулой Архимеда: $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 8=\frac{32\pi }{3}$. Сошлось. Формула шара из третьего века до нашей эры и интеграл из семнадцатого — одно и то же утверждение на двух языках. В интерактиве выше именно этот шар собран из двенадцати дисков: подвигайте ползунок $n$ и посмотрите, при каком числе дисков расхождение с эталоном $\frac{32\pi }{3}$ становится незаметным.

Диски в разрезе: сумма Римана под микроскопом#

Интеграл $\pi {\int }_a^b{f}^{2}dx$ устроен так же, как обычная площадь, только под кривой $y=f^2(x)$. Второй интерактив показывает это «в разрезе»: сумма прямоугольников под кривой — это объём тела, делённый на $\pi$.

Здесь профиль $f(x)=x^2$ на $[0,2]$, поэтому подынтегральная функция — $f^2(x)=x^4$. Прямоугольники аппроксимируют ${\int }_0^2{x}^{4}dx=\frac{32}{5}=6,4$, а полный объём равен $\pi \cdot \frac{32}{5}=\frac{32\pi }{5}\approx 20,1062$. Каждый прямоугольник высоты $x^4$ и ширины $\Delta x$ — это диск радиуса $x^2$, у которого выкинули $\pi$.

Метод цилиндрических слоёв: крутимо вокруг $Oy$#

Если кривая вращается вокруг вертикальной оси $Oy$, диски резать неудобно: сечения плоскостями $y=const$ не выражаются просто через $x$. Тогда тело режут вдоль — на тонкие цилиндрические трубки. Трубка на расстоянии $x$ от оси имеет высоту $f(x)$, толщину $\Delta x$ и длину окружности $2\pi x$; развернём её в пластину объёма $2\pi xf(x)\Delta x$:

Метод выбирается не по вкусу, а по геометрии: прилегающая к оси фигура — диски, отступающая или вращающаяся вокруг $Oy$ — слои. Полезно уметь оба, потому что иногда только один из них даёт простые пределы интегрирования.

Пример 3. Парабола вокруг вертикальной оси

Кривая $y=x^2$ на $[0,2]$ вращается вокруг $Oy$. Слоями:

Тот же объём дисковыми через обратную функцию: вращение заметает тело высотой от $y=0$ до $y=4$, радиус сечения на высоте $y$ равен $\sqrt{y}$, и $V=\pi {\int }_0^{4}ydy=\pi \cdot 8=8\pi$. Два пути, один ответ — надёжная взаимопроверка, которая ловит ошибку в пределах или радиусе.

Бонус: тело с дыркой — метод «шайб»

Если вращается область между двумя кривыми $f\ge g$, сечение — кольцо: внешний радиус $f(x)$, внутренний $g(x)$. Формула меняется на разность квадратов:

Мини-пример: область между $y=1$ и $y=x^2$ на $[0,1]$ вращается вокруг $Ox$. Внешний радиус $1$, внутренний $x^2$, и $V=\pi {\int }_0^1(1-x^4)dx=\pi \left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{4\pi }{5}\approx 2,5133$. Ваза с толстым дном.

Формулы объёма в одном месте#

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Технику интегрирования подгонит тренажёр интегралов-2: по частям и рациональные дроби — то, что встречается в объёмах чаще всего. Пошаговый счёт — решатель интегралов, разборы задач — в разделе задачи на интегралы. Соседи по кластеру: площадь фигуры через интеграл и длина дуги кривой через интеграл; обзор — на странице кластера.