Работа переменной силы через интеграл: как вычислить

Q: Почему работа пружины равна $\frac{kl^2}{2}$, а не $kl$?

Потому что сила не постоянна: она растёт линейно от нуля до $kl$. Интегрирование даёт $\frac{kl^2}{2}$, а на языке средних — средняя сила $\frac{kl}{2}$ на пути $l$. Произведение $kl$ учитывало бы максимальную силу на всём пути и завышало ответ ровно вдвое.

Q: Как считать работу, если сила направлена под углом к траектории?

В интеграл входит проекция силы на направление движения: $A = \int F(x)\cos\alpha\,dx$. Постоянный угол выносится за интеграл множителем, переменный — повод параметризовать траекторию и интегрировать по её длине, как на странице [длина дуги кривой](/primeneniya-integrala/dlina-dugi-krivoj/).

Q: Что означает отрицательная работа?

Сила противонаправлена движению: интеграл выходит отрицательным, энергия отбирается у тела. Так работает трение; так же считает сила упругости при возврате пружины — её работа обратна работе сжатия и равна $-\frac{kl^2}{2}$: запасённая энергия возвращается грузу.

Q: Зачем интеграл, если есть теорема о кинетической энергии?

Теорема $A = \Delta E_k$ связывает работу с энергиями, но не вычисляет её: чтобы найти изменение кинетической энергии, нужно знать скорость, а чтобы скорость — сперва работу. Для расчёта работы по заданной силе интеграл — основной инструмент, а теорема становится проверкой: энергия пружины $\frac{kl^2}{2}$ в точности переходит в кинетическую энергию груза.

Работа переменной силы через интеграл: A = ∫F(x)dx, пружина по закону Гука, откачка воды из резервуара. Три примера с точной арифметикой и живые графики.

25 минут 2 интерактиваквизы и FAQ

Постоянную силу на путь умножает школьник: $A = F \cdot s$ . Но сила редко бывает постоянной: пружина сопротивляется тем сильнее, чем дальше её растягивают, вода в баке давит на насос всё слабее по мере падения уровня, тяга двигателя меняется каждую секунду. Умножение здесь бессильно — нужен интеграл, складывающий бесконечно малые порции работы $F (x) d x$ по всему пути.

Ниже — вывод формулы, алгоритм из четырёх шагов и три разобранных примера с проверенной арифметикой: пружина по закону Гука, работа на участке растяжения и откачка воды из резервуара. База: урок определённый интеграл, разбор как решать интегралы и физический урок работа и энергия.

Работа переменной силы: вывод формулы#

Разобьём путь от $x = a$ до $x = b$ на крошечные кусочки $Δ x$ . На таком кусочке силу можно считать постоянной: пока точка проходит $Δ x$ , сила почти не меняется. Порция работы на кусочке равна $F (ξ) Δ x$ , где $ξ$ — какая-нибудь точка кусочка. Сумма порций по всем кусочкам — работа на всём пути; устремим ширину кусочков к нулю, и сумма сходится к определённому интегралу:

A = \int_{a}^{b} F (x) d x

работа переменной силы:

F (x)

— сила в точке пути,

d x

— бесконечно малый кусочек пути,

a

b

— начало и конец маршрута

Размерность подтверждает раскладку: ньютоны, умноженные на метры, дают джоули. Для постоянной силы формула вырождается в школьную: $F (x) = F$ , интеграл от константы равен $F (b - a)$ , то есть $F \cdot s$ . Отсюда и наглядный смысл: работа — площадь под графиком $F (x)$ ; чем сильнее воздействие в данной точке, тем выше кривая и тем жирнее вклад соответствующей полоски.

Выберите ось вдоль пути и выразите силу как функцию координаты $F (x)$ . Если сила задана графиком или таблицей, интеграл считается численно — прямоугольниками или трапециями.
Определите пределы $a$ и $b$ — начальную и конечную точки пути. В задачах с пружиной это величина деформации до и после.
Найдите первообразную по таблице интегралов и подставьте пределы: $A = F (b) - F (a)$ .
Проверьте ответ: размерность — джоули, знак — плюс для силы, сонаправленной движению, а порядок не выше полной силы на всём пути.

Сумма Римана: из чего состоит интеграл

Двигай n!

Кривая $y = F (x) = 4 x$ . Увеличивайте число прямоугольников $n$ — ступенчатая фигура прижимается к кривой, а её площадь стремится к настоящему интегралу. Это определение $\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i}$ .

Число прямоугольников n6

Σ площадь

18.000

∫ точно

18.000

Ошибка

<0.01%

При n = 200 разница с точным значением почти незаметна — вот почему интеграл «работает».

Пример 1. Пружина по закону Гука#

Закон Гука: сила упругости пропорциональна деформации, $F (x) = k x$ , где $k$ — жёсткость (Н/м), $x$ — растяжение или сжатие от свободного состояния. Чтобы сжать пружину на $l$ , давить приходится силой $k x$ , растущей от нуля до $k l$ ; против неё и совершается работа:

A = \int_{0}^{l} k x d x = [\frac{k x ^{2}}{2}]_{0}^{l} = \frac{k l ^{2}}{2}

работа сжатия или растяжения пружины; та же величина — запасённая энергия упругой деформации

Числа. Пружина с жёсткостью $k = 200$ Н/м сжимается на $l = 0, 1$ м (десять сантиметров): $A = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0, 1)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0, 01 = 1$ Дж. Проверка через среднюю силу: сила растёт линейно от $0$ до $k l = 20$ Н, средняя равна $10$ Н, и на пути $0, 1$ м это ровно $1$ Дж. Два независимых пути — один ответ.

Обратите внимание на квадрат длины: чтобы сжать ту же пружину на $0, 2$ м, понадобится не вдвое, а вчетверо больше — $4$ Дж. Вторая половина сжатия дороже первой, потому что сила всё время растёт. Эта квадратичность — главный сюрприз темы: интуиция «больше путь — пропорционально больше работа» здесь систематически врёт.

Пружина с ползунком жёсткости

Живой график

Сила упругости $F = k x$ . Ползунок меняет жёсткость $k$ от $100$ до $500$ Н/м; площадь под прямой — работа сжатия $\frac{k l ^{2}}{2}$ . При $k = 200$ и $l = 0, 1$ она равна $1$ Дж; поднимите жёсткость до $400$ — работа удвоится, а при прежней $k = 200$ удвоение хода до $0, 2$ м учетверит её: длина входит в формулу в квадрате.

k =200

Тяните ползунки — график перестраивается мгновенно.

Пример 2. Работа на участке растяжения#

Пружину с жёсткостью $k = 300$ Н/м уже растянули на $5$ см; теперь деформацию доводят до $15$ см. Пределы интегрирования — от $x_{1} = 0, 05$ до $x_{2} = 0, 15$ м:

A = \int_{0, 05}^{0, 15} 300 x d x = 150 (0, 1 5^{2} - 0, 0 5^{2}) = 150 \cdot 0, 02 = 3

джоулей; общая формула участка —

A = \frac{k}{2} (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})

Средняя сила снова выручает: на концах участка сила упругости равна $15$ Н и $45$ Н, средняя — $30$ Н, путь — $0, 1$ м, произведение — $3$ Дж. Для силы, линейной по $x$ , такой контроль работает всегда: среднее значение линейной функции — полусумма её крайних значений. Для нелинейной силы среднее ищется именно интегралом — в этом разница между прикидкой и расчётом.

Пример 3. Откачка воды из резервуара#

Классика прикладных задач: цилиндрический резервуар радиуса $R = 1$ м и глубины $H = 2$ м заполнен водой доверху, воду выкачивают через верхний край. Режем воду на тонкие слои толщиной $d x$ . Слой на глубине $x$ несёт вес $ρ g π R^{2} d x$ (здесь $ρ = 1000$ кг/м³ — плотность воды, $g = 9, 8$ м/с²) и поднимается до верхнего края ровно на $x$ метров:

d A = ρ g π R^{2} x d x, A = \int_{0}^{H} ρ g π R^{2} x d x = \frac{ρ g π R ^{2} H ^{2}}{2}

порция работы слоя и итоговый интеграл: глубина входит в квадрате

Подставляем числа: $A = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 9, 8 \cdot π \cdot 1 \cdot 4 = 19600 π \approx 61575$ Дж, то есть $\approx 61, 6$ кДж. Множитель $π$ остался в ответе: радиус даёт круглую площадь сечения, и от него никуда не деться.

Изящная проверка — через центр масс. Вся вода весит $ρ g π R^{2} H = 19600 π$ Н и сидит в среднем на глубине $H /2 = 1$ м, значит, её подъём требует $19600 π$ Дж — в точности наш ответ. Интеграл «сам» нашёл среднюю глубину подъёма: это и есть умножение веса на среднюю глубину, только честно вычисленное по слоям.

Формулы работы в одном месте#

Ситуация	Формула	Проверка из текста
Постоянная сила	$A = F \cdot s$	вырожденный случай интеграла
Переменная сила	$A = \int_{a}^{b} F (x) d x$	$F = 4 x$ на $[0; 3]$ даёт $18$ Дж
Пружина от нуля до $l$	$A = \frac{k l ^{2}}{2}$	$k = 200$ , $l = 0, 1$ дают $1$ Дж
Пружина с $x_{1}$ до $x_{2}$	$A = \frac{k}{2} (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$	$k = 300$ , $5 \to 15$ см дают $3$ Дж
Откачка из цилиндра	$A = \frac{ρ g π R ^{2} H ^{2}}{2}$	$R = 1$ , $H = 2$ дают $19600 π$ Дж

Пять формул работы: от школьного умножения до интеграла по слоям

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Физическую сторону — теорему о кинетической энергии и мощность — разбирает урок работа и энергия. Технику интегрирования полирует тренажёр интегралов, пошаговый счёт конкретного выражения — решатель интегралов. Соседние страницы кластера считают площадь фигуры, объём тела вращения и длину дуги — тот же метод «нарезаем, умножаем, суммируем» в разных обличьях; обзор всех приложений — на странице кластера.

Проверь себя+10 XP

Пружину жёсткостью $k = 400$ Н/м растянули на $20$ см. Совершённая работа равна…

Проверь себя+10 XP

Деформацию пружины удвоили. Во сколько раз выросла работа сжатия?

Проверь себя+10 XP

Сила $F (x) = 6 x$ (Н) действует на пути от $0$ до $2$ м. Работа равна…

Частые вопросы

Почему работа пружины равна $\frac{k l ^{2}}{2}$ , а не $k l$ ?

Потому что сила не постоянна: она растёт линейно от нуля до $k l$ . Интегрирование даёт $\frac{k l ^{2}}{2}$ , а на языке средних — средняя сила $\frac{k l}{2}$ на пути $l$ . Произведение $k l$ учитывало бы максимальную силу на всём пути и завышало ответ ровно вдвое.

Как считать работу, если сила направлена под углом к траектории?

В интеграл входит проекция силы на направление движения: $A = \int F (x) cos α d x$ . Постоянный угол выносится за интеграл множителем, переменный — повод параметризовать траекторию и интегрировать по её длине, как на странице длина дуги кривой.

Что означает отрицательная работа?

Сила противонаправлена движению: интеграл выходит отрицательным, энергия отбирается у тела. Так работает трение; так же считает сила упругости при возврате пружины — её работа обратна работе сжатия и равна $- \frac{k l ^{2}}{2}$ : запасённая энергия возвращается грузу.

Зачем интеграл, если есть теорема о кинетической энергии?

Теорема $A = Δ E_{k}$ связывает работу с энергиями, но не вычисляет её: чтобы найти изменение кинетической энергии, нужно знать скорость, а чтобы скорость — сперва работу. Для расчёта работы по заданной силе интеграл — основной инструмент, а теорема становится проверкой: энергия пружины $\frac{k l ^{2}}{2}$ в точности переходит в кинетическую энергию груза.

Работа переменной силы: вывод формулы#

Сумма Римана: из чего состоит интеграл

Пример 1. Пружина по закону Гука#

Пружина с ползунком жёсткости

Пример 2. Работа на участке растяжения#

Пример 3. Откачка воды из резервуара#

Формулы работы в одном месте#

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Частые вопросы

Почему работа пружины равна 2kl2​, а не kl?

Как считать работу, если сила направлена под углом к траектории?

Что означает отрицательная работа?

Зачем интеграл, если есть теорема о кинетической энергии?

Сумма Римана: из чего состоит интеграл

Пружина с ползунком жёсткости

Почему работа пружины равна $\frac{k l ^{2}}{2}$ , а не $k l$ ?