Путь при переменной скорости: как найти через интеграл

Спидометр не показывает, где вы находитесь. Он показывает скорость здесь и сейчас, а путь — это скорость, накопленная по секундам: шестьдесят километров в час за час — шестьдесят километров. Но как только стрелка пляшет, простое умножение не работает. Интеграл делает накопление честным: каждая секунда вносит вклад $v(t)dt$, и сумма этих вкладов — путь.

Ниже — вывод формулы $s=\int vdt$, лестница «путь — скорость — ускорение» в обе стороны (дифференцируем вниз, интегрируем вверх), три примера с проверенной арифметикой и живое различие между путём и перемещением. База: термин производная и физический урок кинематика точки.

Вывод: путь как накопленная скорость#

Равномерное движение даёт $s=v\cdot t$. Неравномерное режем по времени на кусочки $\Delta t$: на кусочке скорость почти постоянна, порция пути равна $v(\tau )\Delta t$. Сумма порций по всему отрезку $[t_1,t_2]$ при измельчении нарезки сходится к интегралу:

Картинка та же, что и в площади под кривой: ось времени вместо оси $x$, скорость вместо высоты. При $v\ge 0$ интеграл даёт путь, при смене знака — перемещение, и это важнейшее различие страницы: ему посвящён пример 3. Лестница производных связывает три величины: координата дифференцируется в скорость, скорость — в ускорение; интегрирование идёт в обратную сторону:

1. 1
   Запишите скорость как функцию времени $v(t)$; если дано ускорение — сперва интегрируйте его и найдите $v$ из начального условия $v_0$.
2. 2
   Найдите моменты смены знака скорости: там тело разворачивается, и путь требует модуля.
3. 3
   Проинтегрируйте $v(t)$ по таблице интегралов и подставьте пределы: $s=V(t_2)-V(t_1)$, где $V$ — первообразная скорости.
4. 4
   Контроль: средняя скорость $s/T$ обязана лежать между наименьшим и наибольшим значением $v$ на отрезке.

Пример 1. Разгон с квадратичной скоростью#

Тело разгоняется так, что скорость растёт по закону $v(t)=3t^2$ (м/с). Сколько оно пройдёт за первые $4$ секунды? Интегрируем:

Контроль средней скоростью: $v_{\text{ср}}=64/4=16$ м/с, а конечная скорость $v(4)=3\cdot 16=48$ м/с. Средняя ровно втрое меньше максимальной — и это не совпадение: для квадратичного роста $v=a{t}^2$ среднее по отрезку $[0,T]$ всегда равно трети максимума, потому что ${\int }_0^T{t}^{2}dt=\frac{T^3}{3}$. Прикиньте среднюю скорость до счёта — она ловит потерянную степень и перепутанные пределы.

Пример 2. Торможение: путь до полной остановки#

Автомобиль тормозит: $v(t)=20-4t$ (м/с) — скорость падает на $4$ м/с каждую секунду, то есть ускорение $a=-4$ м/с². Полная остановка: $20-4t=0$, откуда $t=5$ с. Путь до остановки:

Проверка формулой механики: путь равномерно замедленного движения $s=\frac{v_0^2}{2|a|}=\frac{400}{8}=50$ м — сошлось. Заметьте квадрат скорости: удвоение начальной скорости с $20$ до $40$ м/с учетверит тормозной путь до $200$ м. Именно поэтому «всего вдвое быстрее» на трассе означает вчетверо более длинное торможение.

Пример 3. Путь против перемещения: качели скорости#

Скорость меняется по закону $v(t)=2\sin t$ (м/с) — тело разгоняется и тормозит, как качели. За период от $0$ до $2\pi$ интеграл скорости даёт ноль:

Но никто не скажет, что качели «никуда не катались». Путь — интеграл от модуля скорости: на первой полуволне тело уходит на ${\int }_0^{\pi }2\sin tdt=4$ м, на второй возвращается на $4$ м. Полный путь — $8$ м при нулевом перемещении. Разница между $\int |v|dt$ и $\int vdt$ — та же пара, что и на странице про площадь, когда синус нырял под ось: знак скорости требует внимания.

Скорость из ускорения: собираем лестницу целиком#

Обратная задача: известно ускорение $a(t)=6t$ (м/с²) и начальная скорость $v_0=2$ м/с. Интегрируем ускорение: $v(t)=2+{\int }_0^{t}6\tau d\tau =2+3t^2$. Интегрируем скорость: $s(t)=2t+t^3$. За $t=2$ с путь $s=4+8=12$ м, скорость $v=2+12=14$ м/с. Каждый уровень лестницы — один интеграл плюс начальное условие: без $v_0$ интеграл даёт семейство решений, условие выбирает нужное.

Формулы пути и скорости в одном месте#

Проверьте себя и двигайтесь дальше#

Кинематические графики и уравнения движения — в уроке кинематика точки, производные как скорость изменения — в тренажёре производных, а прямая задача о площади — в странице площадь фигуры через интеграл. Обзор всех приложений — на странице кластера; следующий уровень абстракции — работа переменной силы, где под интегралом вместо скорости живёт сила.