📈 Матанализ

Признак Даламбера против радикального признака Коши

Q: Почему при $\rho = 1$ оба признака молчат?

Потому что эталонные ряды сами сидят на этой границе. Для $\sum \frac{1}{n^p}$ отношение соседей $\left(\frac{n}{n+1}\right)^p \to 1$ при любом $p$, а корень $\left(\frac{1}{n^p}\right)^{1/n} \to 1$ тоже. Значит, признак видит лишь то, быстрее ли ряд эталона, но не различает эталоны между собой: у $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ оба предела равны единице, а сходимость разная. Нужна более тонкая техника — признак сравнения в предельной форме или интегральный признак.

Q: Можно ли применять Даламбер, если предел отношения не существует, но ограничен?

Есть обобщённая форма: если $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le q < 1$ для всех $n$ с некоторого номера — ряд сходится (сравнение с геометрической прогрессией), если же отношение $\ge 1$ с некоторого номера — члены не стремятся к нулю и ряд расходится. Практически это позволяет обойтись без точного предела. А вот классическая форма с верхним пределом $\limsup$ уже совпадает по силе с радикальным признаком.

Q: Почему радикальный признак сильнее отношения?

Из-за средних: $\sqrt[n]{a_n}$ — среднее геометрическое всех предыдущих отношений, а среднее сглаживает колебания. Если отношения стремятся к $\rho$, их геометрическое среднее стремится к тому же $\rho$ — корень видит то же, что и Даламбер. Если отношения колеблются, среднее может устаканиться, как в примере $2^{-n + (-1)^n}$, где корень сходится к $\frac{1}{2}$ при скачущем отношении. Обратная передача информации невозможна: сильный не выводится из слабого.

Q: Какой признак учить первым?

Даламбер: он проще в вычислении и закрывает типовой кусок контрольных — ряды с факториалами и степенями. Радикальный добавить вторым — во-первых, для степенных рядов, где $\sqrt[n]{|c_n|}$ определяет радиус сходимости, во-вторых, для рядов-«степеней» и осцилляций. И над обоими стоит признак сравнения: он единственный разбирается со случаем $\rho = 1$, а именно там живут самые коварные ряды. Полный алгоритм выбора — в разборе [как исследовать ряд на сходимость](/kak-reshat/kak-issledovat-ryad-na-shodimost/), практика — в [тренажёре рядов](/trening/trening-ryadov/).

ДаламберКоши

Коротко: Радикальный признак сильнее: если предел отношения $a_{n+1}/a_n$ существует, то предел корня $\sqrt[n]{a_n}$ существует и равен тому же. Зато Даламбер дешевле на практике: для рядов с факториалами и произведениями степеней отношение считается в одну строку. Коши берёт своё там, где $a_n$ целиком возведено в $n$-ю степень или осциллирует внутри.

План на семестр Вердикт: с чего начать

Оба признака решают один вопрос: сходится ли положительный ряд, когда сравнение с эталонами не очевидно. Оба дают одинаковый вердикт через одно число $ρ$ : меньше единицы — сходится, больше — расходится, ровно единица — молчание. И оба молчат на границе, потому что граница занята эталонами: при $ρ = 1$ ряд может быть чем угодно — $\sum \frac{1}{n}$ расходится, $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ сходится, а оба признака для них выдают единицу. Разница между признаками — в том, что они мерят.

Общая теория сходимости — в уроке числовые ряды, полный выбор инструмента — в разборе как исследовать ряд на сходимость.

ρ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} (Даламбер), ρ = n \to \infty lim n a_{n} (Коши)

при

ρ < 1

ряд сходится, при

ρ > 1

расходится, при

ρ = 1

оба признака ничего не говорят

Иерархия: Коши сильнее#

Скрытая связь между признаками — через средние. Отношение соседей — это среднее геометрическое отношений внутри: $n a_{n} = n \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} \cdot \frac{a _{n - 1}}{a _{n - 2}} \dots \frac{a _{2}}{a _{1}} \cdot n a_{1}$ , и по теореме о среднем геометрическом, если отношения стремятся к $ρ$ , то и корень стремится к $ρ$ . Обратное неверно: корень может иметь предел, когда отношение предела не имеет. Вывод для стратегии: признак Коши покрывает всё, что покрывает Даламбер, плюс кое-что ещё. Почему тогда Даламбер не вымер? Потому что вычислять отношение почти всегда проще.

Отношение: $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !} = \frac{( n + 1 ) n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = (\frac{n}{n + 1})^{n}$ .
Предел: $(\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} \to \frac{1}{e} \approx 0, 368$ .
$ρ = \frac{1}{e} < 1$ — ряд сходится. Две строки, второй замечательный предел в придачу.
Радикальный признак на этом ряду требует $n \frac{n !}{n ^{n}} = \frac{n n !}{n}$ — а это формула Стирлинга, тяжёлая артиллерия.

Вся $a_{n}$ — $n$ -я степень: $n a_{n} = \frac{n}{3 n + 1}$ .
Предел: $\frac{n}{3 n + 1} \to \frac{1}{3} < 1$ — ряд сходится, одна строка.
Даламбер на этом ряду: $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + 1}{3 n + 4} \cdot (\frac{3 n + 1}{n})^{n}$ — предел требует аккуратной работы со вторым замечательным пределом: $(\frac{3 n + 1}{n})^{n} = 3^{n} (1 + \frac{1}{3 n})^{n} \to \dots$ — вычислимо, но заметно дороже.

Где Коши выигрывает всухую: осцилляции#

Предельный случай иерархии — ряд $\sum a_{n}$ , где отношение $a_{n + 1} / a_{n}$ не имеет предела вовсе. Тогда Даламбер бессилен на законных основаниях, а корень может работать. Классика жанра: $a_{n} = 2^{- n + (- 1)^{n}}$ . Отношение $a_{n + 1} / a_{n} = 2^{- 1 - 2 (- 1)^{n}}$ скачет между $\frac{1}{8}$ (чётные $n$ ) и $2$ (нечётные) — предела нет. Корень: $n a_{n} = 2^{- 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}} \to \frac{1}{2} < 1$ — ряд сходится. Осцилляция в показателе амортизируется корнем: $(- 1)^{n} / n$ тает, а не тает в отношении, где скачок $\pm 2$ не гасится ничем.

Критерий	Признак Даламбера	Радикальный признак Коши
Что считается	$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ — отношение соседей	$n a_{n}$ — корень $n$ -й степени
Форма ряда-победителя	факториалы, произведения степеней	$a_{n} = (c_{n})^{n}$ , показатели с осцилляцией
Сила	уже	строже: покрывает Даламбера + осцилляции
Цена вычисления	ниже — одна дробь	выше — корень от всего $a_{n}$
Случай $ρ = 1$	молчит (ряд может быть любым)	молчит так же
Классический пример	$\sum \frac{n !}{n ^{n}} \to \frac{1}{e}$	$\sum 2^{- n + (- 1)^{n}} \to \frac{1}{2}$

Стратегия: факториалы — Даламбер; всё в степени

n

или скачущий показатель — Коши

Ещё одна страница этой темы — то, что оба признака работают только для положительных рядов. Для знакопеременных сначала проверяют абсолютную сходимость теми же признаками на $\sum ∣ a_{n} ∣$ , и лишь потом, при неудаче, тянут Лейбница или Дирихле: см. сравнение абсолютная против условной сходимости.

Шпаргалка выбора: шесть карточек

Знаю: 0/6

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 6

\sum \frac{n ! \cdot c ^{n}}{n ^{p}}

или произведения факториалов

Проверь себя+15 XP

Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 + s i n n}{3 ^{n}}$ . Какой признак сработает?

Проверь себя+15 XP

$\sum \frac{2 ^{n}}{n !}$ : предел отношения по Даламберу равен…

Частые вопросы

Почему при $ρ = 1$ оба признака молчат?

Потому что эталонные ряды сами сидят на этой границе. Для $\sum \frac{1}{n ^{p}}$ отношение соседей $(\frac{n}{n + 1})^{p} \to 1$ при любом $p$ , а корень $(\frac{1}{n ^{p}})^{1/ n} \to 1$ тоже. Значит, признак видит лишь то, быстрее ли ряд эталона, но не различает эталоны между собой: у $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n ^{2}}$ оба предела равны единице, а сходимость разная. Нужна более тонкая техника — признак сравнения в предельной форме или интегральный признак.

Можно ли применять Даламбер, если предел отношения не существует, но ограничен?

Есть обобщённая форма: если $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} \leq q < 1$ для всех $n$ с некоторого номера — ряд сходится (сравнение с геометрической прогрессией), если же отношение $\geq 1$ с некоторого номера — члены не стремятся к нулю и ряд расходится. Практически это позволяет обойтись без точного предела. А вот классическая форма с верхним пределом $lim sup$ уже совпадает по силе с радикальным признаком.

Почему радикальный признак сильнее отношения?

Из-за средних: $n a_{n}$ — среднее геометрическое всех предыдущих отношений, а среднее сглаживает колебания. Если отношения стремятся к $ρ$ , их геометрическое среднее стремится к тому же $ρ$ — корень видит то же, что и Даламбер. Если отношения колеблются, среднее может устаканиться, как в примере $2^{- n + (- 1)^{n}}$ , где корень сходится к $\frac{1}{2}$ при скачущем отношении. Обратная передача информации невозможна: сильный не выводится из слабого.

Какой признак учить первым?

Даламбер: он проще в вычислении и закрывает типовой кусок контрольных — ряды с факториалами и степенями. Радикальный добавить вторым — во-первых, для степенных рядов, где $n ∣ c_{n} ∣$ определяет радиус сходимости, во-вторых, для рядов-«степеней» и осцилляций. И над обоими стоит признак сравнения: он единственный разбирается со случаем $ρ = 1$ , а именно там живут самые коварные ряды. Полный алгоритм выбора — в разборе как исследовать ряд на сходимость, практика — в тренажёре рядов.

Что дальше: определение термина — признак Даламбера; формулы всех признаков — в шпаргалке по рядам; задачи с генератором — на странице задачи на ряды; термин-основа — ряд. Двухходовая проверка знакопеременных рядов — в сравнении абсолютная против условной сходимости; непрерывный собрат этой темы — собственный против несобственного интеграла.

Иерархия: Коши сильнее#

Где Коши выигрывает всухую: осцилляции#

Шпаргалка выбора: шесть карточек

Частые вопросы

Почему при ρ=1 оба признака молчат?

Можно ли применять Даламбер, если предел отношения не существует, но ограничен?

Почему радикальный признак сильнее отношения?

Какой признак учить первым?

Шпаргалка выбора: шесть карточек

Почему при $ρ = 1$ оба признака молчат?