📈 Матанализ

Собственный против несобственного интеграла: где ломается площадь

СобственныйНесобственный

Коротко: Собственный интеграл — конечный отрезок, ограниченная функция, площадь по Ньютону–Лейбницу без оговорок. Несобственный — предел: либо интервал уезжает в бесконечность (I род), либо функция раздувается у конца отрезка (II род). Он может сходиться к конечному числу — и тогда конечная площадь живёт под бесконечным графиком, — а может расходиться.

План на семестр Вердикт: с чего начать

Определённый интеграл из первого семестра работает при двух договорённостях: отрезок конечный и функция ограниченная. Убрать любую — и определение перестаёт работать: интегральные суммы не соберутся, теорема о среднем не приложится. Несобственный интеграл — это честная починка: вместо «считаем по определению» говорим «берём предел обычных интегралов». Отсюда главная новизна темы: интеграл может не существовать — расходиться, — и это равноправный исход, а не аварийный случай.

Полная теория — в уроке несобственные интегралы; здесь — два рода, критерий $p$ , живые числа и мост к рядам.

\int_a^{\infty} f\,dx = \lim_{A \to \infty} \int_a^A f\,dx \quad \text{(I род)}, \qquad \int_a^b f\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a + \varepsilon}^{b} f\,dx \quad \text{(II род, особенность в

)}

оба определения — пределы обычных интегралов; сходится — предел конечен, расходится — нет

Два рода и один вопрос: а предел есть?#

Критерий	Собственный	I род (бесконечный интервал)	II род (неограниченная функция)
Отрезок	конечный $[a; b]$	$[a; \infty)$ , $(- \infty; b]$ , вся ось	конечный, но с особой точкой
Функция	ограничена	может быть любой	раздувается у особенности
Как считать	Ньютон–Лейбниц напрямую	предел $\int_{a}^{A}$ при $A \to \infty$	предел с вырезом $ε$
Исходы	всегда число	число или $\infty$ (расходится)	число или $\infty$ (расходится)
Эталон сходимости	не нужен	$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{p}}$ : $p > 1$ — да, $p \leq 1$ — нет	$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}}$ : $p < 1$ — да, $p \geq 1$ — нет

Обратите внимание на противоположность условий у критерия

p

: бесконечный хвост требует

p > 1

, близкая особенность прощает

p < 1

Числа, которые стоит помнить: $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2}} = 1$ — площадь под бесконечным хвостом конечна; $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x}$ расходится — кубы единичные не помогают, хвост $ln A$ уезжает; $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = 2$ — игла у нуля интегрируема, ведь $p = 1/2 < 1$ ; а $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}$ расходится. Симметрия не случайна: оба эталона — про скорость роста против скорости сжатия.

I род: $\int_{1}^{A} e^{- x} d x = - e^{- x}_{1}^{A} = e^{- 1} - e^{- A}$ .
Предел $A \to \infty$ : $e^{- A} \to 0$ , интеграл сходится к $\frac{1}{e} \approx 0, 368$ .
II род: особенность у $x = 1$ . Вырезаем: $\int_{0}^{1 - ε} (1 - x)^{- 1/2} d x$ .
Замена $t = 1 - x$ : $\int_{ε}^{1} t^{- 1/2} d t = 2 t_{ε}^{1} = 2 - 2 ε$ .
Предел $ε \to 0^{+}$ : ответ $2$ — конечный, интеграл сходится, хотя подынтегральная функция у конца отрезка не ограничена.

Практический порядок работы: найти особые точки (где функция не ограничена или знаменатель зануляется), проверить пределы интегрирования на бесконечность, разбить интеграл на собственные куски между особенностями — каждый исследуется отдельно. Расходится один кусок — расходится всё: частичные суммы не умеют «компенсироваться» через бесконечность, и правое $+ \infty$ не гасит левого $- \infty$ по определению.

Мост к рядам: интегральный признак#

Сходимость несобственных интегралов и сходимость рядов — родственные сюжеты. Интегральный признак Коши: для монотонно убывающей положительной $f$ ряд $\sum f (n)$ и интеграл $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ сходятся или расходятся одновременно. На этом стоит классическое доказательство расходимости гармонического ряда и критерий для обобщённого $\sum \frac{1}{n ^{p}}$ — ровно те же условия $p > 1$ . Разница взглядов в том, что ряд суммирует дискретные шажки, а интеграл — непрерывное накопление; сравнение двух миров разобрано в материале ряд против интеграла.

Шесть карточек: что помнить

Знаю: 0/6

Кликните карточку, чтобы перевернуть. Отмечайте выученное — счётчик в шапке покажет прогресс.

1 / 6

\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{p}}

Проверь себя+15 XP

$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x x}$ сходится или расходится?

Проверь себя+15 XP

Интеграл $\int_{0}^{2} \frac{d x}{( x - 1 ) ^{2}}$ — что с ним?

Частые вопросы

Почему несобственный интеграл называют «несобственным»?

Потому что он не подпадает под собственное определение интеграла Римана, которое построено на ограниченной функции и конечном отрезке. Несобственный — конструкция надстройкой: предел обычных (собственных) интегралов с убегающим пределом или вырезаемой окрестностью особенности. Термин — о статусе, а не о качестве: сходящийся несобственный интеграл — полноценное число со всеми нужными свойствами.

Как быстро распознать расходящийся интеграл без вычисления?

Сравнить главные члены. У бесконечного хвоста посмотрите, как быстро $f (x) \to 0$ : медленнее, чем $\frac{1}{x}$ (например $\frac{1}{l n x}$ или $\frac{x}{x ^{2} + 1} \sim \frac{1}{x}$ при $p = 1$ ), — расходится. У особенности посмотрите скорость раздувания: быстрее, чем $\frac{1}{( x - c )}$ по степени (например $\frac{1}{( x - c ) ^{1, 5}}$ ), — расходится. Признак сравнения с эталонами работает на хвостах и не требует точного интеграла.

Зачем нужен интеграл II рода, если функция всё равно бесконечна в точке?

Потому что физические и вероятностные величины часто живут именно там: плотность распределения может неограниченно расти у нуля, интенсивность нагрузки — у края пластины. Конечная площадь под иглой — реальная измеримая величина: $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = 2$ означает, что суммарный эффект конечен, хотя плотность бесконечна. Понятие «конечная масса при бесконечной плотности» — базовое для теории вероятностей и физики.

Чем несобственный интеграл отличается от ряда?

Структурой: ряд суммирует дискретные члены, интеграл — непрерывное накопление. Инструменты перекрываются: и там, и там есть абсолютная/условная сходимость, признаки сравнения, эталонные ряды/интегралы со степенями. Интегральный признак Коши связывает оба мира напрямую: ряд $\sum \frac{1}{n ^{p}}$ и интеграл $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{p}}$ сходятся или расходятся вместе. Техника интегрирования при этом общая — смотрите методы интегрирования и разбор как исследовать ряд на сходимость.

Что дальше: практика с генератором — на странице задачи на интегралы и в тренажёре интегралов; техника вычислений — в разборе как решать интегралы; определения — в терминах интеграл и предел. Родственное сравнение внутри самой темы — определённый против неопределённого интеграла; связь с признаками сходимости рядов — признак Даламбера против радикального Коши.