📈 Матанализ

Предел последовательности против предела функции

Q: Последовательность — это ведь тоже функция? Тогда зачем два определения?

Формально да: последовательность — функция на $\mathbb{N}$. Но множество значений дискретно: между $n$ и $n+1$ нет промежуточных точек, а значит, вопросы «слева/справа» и «в точке $a$» просто не встают. Определения отличаются ровно тем, что нужно каждому миру: у последовательности — одно условие на хвост $n > N$, у функции — двусторонняя проколотая окрестность $0 < |x - a| < \delta$. Оба определения говорят одно: «хвост (окрестность) можно сделать сколь угодно близким к пределу».

Q: Что такое односторонние пределы и зачем они?

Это пределы при $x \to a^-$ и $x \to a^+$ — приближение только слева или только справа. Они нужны там, где функция разного поведения по разные стороны: ступенька $\operatorname{sign}(x)$ в нуле имеет пределы $-1$ и $+1$, а общего предела нет. Предел в точке существует тогда и только тогда, когда оба односторонних существуют и равны — на этом держится вся проверка непрерывности в точках склейки.

Q: Все приёмы решения пределов одинаковы для обоих случаев?

Ядро общее: арифметика пределов, замечательные пределы, эквивалентности, правило Лопиталя — из урока [правило Лопиталя](/course/matanaliz/pravilo-lopitalya/). Отличия по краям: для последовательностей есть теорема Штольца и приёмы с монотонностью и ограниченностью, для функций — односторонние пределы и поведение в конечной точке. Практика обоих типов с генератором — в [тренажёре пределов](/trening/trening-predelov/) и на странице [задачи на пределы](/zadachi/predely/).

Q: Как быстро доказать отсутствие предела функции в точке?

Найти две последовательности, идущие к точке с разными пределами значений. Для $\sin(1/x)$ выше это серия пиков и серия провалов; для ступеньки — подходы с двух сторон; для $e^{1/x}$ в нуле — $1$ справа и $0$ слева. Этот приём — прямое следствие Гейне, и он же объясняет, почему отсутствие предела почти всегда демонстрируют именно так: две строки против развёрнутой работы с $\varepsilon$ и $\delta$.

ПоследовательностьФункция

Коротко: Последовательность — функция, заданная на натуральных числах, и её предел описывает дальний конец: $n \to \infty$. Предел функции работает и на конечной точке $x \to a$, где нужна проколотая окрестность. Мост между ними — теорема Гейне: предел функции равен пределу любой последовательности, к нему идущей.

План на семестр Вердикт: с чего начать

Обозначение lim одно, буквы $ε$ и $δ$ общие, и студент честно недоумевает: зачем два определения? А затем, что у последовательности «приближение» происходит в счётных точках — шаг за шагом, без промежутков, — а у функции аргумент тащится непрерывно и может подползти к точке с любой стороны. Разница в том, где живёт переменная: у $a_{n}$ она целая, у $f (x)$ — вещественная. Из этого вылезают все отличия: и в определениях, и в способах доказательства, и в типичных ловушках.

Теория по обеим линиям — в уроках предел последовательности и предел функции; здесь — карта различий и мост между ними.

n \to \infty lim a_{n} = L : \forall ε > 0 \exists N : n > N \Rightarrow ∣ a_{n} - L ∣ < ε

определение для последовательности: номер N — целый, окрестность одна — «дальше всех»

x \to a lim f (x) = L : \forall ε > 0 \exists δ > 0 : 0 < ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - L ∣ < ε

определение для функции: окрестность двусторонняя и проколотая — x не равен a

Чем отличается предел последовательности от предела функции: таблица#

Критерий	Последовательность $a_n$	Функция $f(x)$
Область переменной	натуральные числа	подмножество прямой
Куда стремится	только $n \to \infty$	$x \to a$ , $x \to a \pm 0$ , $x \to \pm \infty$
Определение	$ε$ – $N$ , $N$ — целое	$ε$ – $δ$ , $δ$ — вещественное
Односторонние пределы	нет — шаги только вперёд	есть: слева и справа, они могут не совпадать
Промежуточные значения	не существуют	существуют и важны
Критерий Гейне	сам предел — рабочий инструмент	сводится к пределам последовательностей
Типовая техника	оценки, Штольц, монотонность	неопределённости, замечательные пределы, Лопиталь

Разница не в формулах, а в том, как переменная подходит к пределу

Строка про односторонние пределы — самая денежная на контрольной. У последовательности нет «слева»: $n$ не бывает $5, 5$ . У функции есть, и предел в точке существует только когда совпали оба боковых. Знакопеременная последовательность $a_{n} = (- 1)^{n}$ расходится потому, что члены скачут; функция $f (x) = s i n ( 1/ x )$ в нуле расходится потому, что подползает к нему с бесконечной болтанкой. Внешне похоже, механизмы разные.

Мост Гейне: два языка об одном#

Теорема Гейне соединяет миры: $lim_{x \to a} f (x) = L$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $x_{n} \to a$ , $x_{n} \neq = a$ , числа $f (x_{n}) \to L$ . Отсюда два практических следствия. Первое: чтобы доказать отсутствие предела функции, достаточно найти две последовательности с разными пределами. Второе: все приёмы вычисления пределов последовательностей переносятся на функции, идущие в бесконечность, и наоборот — экономия вдвое.

Берём $x_{n} = \frac{1}{π /2 + 2 π n}$ : при $n \to \infty$ это положительные числа, убывающие к нулю.
Тогда $\frac{1}{x _{n}} = \frac{π}{2} + 2 π n$ и $sin \frac{1}{x _{n}} = sin (\frac{π}{2} + 2 π n) = 1$ — по всем $n$ .
Вторая серия: $y_{n} = \frac{1}{3 π /2 + 2 π n} \to 0^{+}$ , и $sin \frac{1}{y _{n}} = - 1$ .
Две последовательности идут к нулю, а значения функции бегут к $1$ и $- 1$ — по Гейне предел не существует.
Вывод: у $sin (1/ x)$ в нуле «вечная болтанка» — окрестность нулю не выручает никакой $δ$ .

А вот зеркальный факт в сторону последовательностей: предел $lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e$ — чисто последовательностный результат, и уже через предел функции $lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ он обслуживает все непрерывные версии второго замечательного предела. Один раз посчитано — работает в обоих мирах: в этом смысл моста.

Последовательность приближается к пределу

Строй таблицу

Каждая точка — член последовательности $a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ . Увеличивайте $n$ и следите за значениями: они «втыкаются» в одно число. Это и есть предел: $lim_{n \to \infty} a_{n}$ .

n	aₙ	\|aₙ − предел\|
12	0.92308	…
11	0.91667	…
10	0.90909	…
9	0.90000	…
8	0.88889	…
7	0.87500	…
6	0.85714	…
5	0.83333	…
4	0.80000	…
3	0.75000	…
2	0.66667	…
1	0.50000	…

n = 12

Последний член

0.92308

Как думаете, к чему всё идёт? Проверьте свою догадку:

Важно: члены последовательности не обязаны достигать предела — они лишь неограниченно к нему приближаются.

ε–δ машина: определение предела по Коши

определение предела

Янтарная горизонтальная полоса — допуск ε вокруг L, вертикальная — окрестность δ вокруг точки a. Задача: подобрать δ так, чтобы кривая над (a−δ, a+δ) не покидала полосу. Машина проверяет это автоматически.

|f(x)−L| < ε выполнено на всём интервале (a−δ, a+δ)max |f(x)−L| = 0.004

ε — точность

0.4

δ — окрестность

0.15

пробная x

0.09

|f(x)−L|

0.001

ε — точность (полоса вокруг L)0.4δ — окрестность (полоса вокруг a)0.15Пробная точка внутри δ-окрестностиx = 0.09

Полосы сжимаются вместе, а проверка остаётся зелёной: для любого нового ε найдётся своё δ. Процесс можно повторять сколько угодно раз.

Определение. Число L — предел f при x → a (пишут lim f(x) = L), если для любого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что для всех x с 0 < |x − a| < δ верно |f(x) − L| < ε.

На словах: какую бы точность ε вам ни назвали, вы отвечаете окрестностью δ, в которой функция не выходит за границы ε. Точка a сама исключена (проколотая окрестность) — предел смотрит только на поведение рядом.

Значение f(a) не важно — точка a исключена из проверки. Например, sin(x)/x в нуле не определена, но предел равен 1.

Проверь себя+15 XP

$a_{n} = (- 1)^{n} + \frac{1}{n}$ . Что можно сказать о пределе?

Проверь себя+15 XP

Известно: для последовательности $x_{n} = a + \frac{1}{n}$ значения $f (x_{n}) \to L$ . Достаточно ли этого, чтобы $lim_{x \to a} f (x) = L$ ?

Частые вопросы

Последовательность — это ведь тоже функция? Тогда зачем два определения?

Формально да: последовательность — функция на $N$ . Но множество значений дискретно: между $n$ и $n + 1$ нет промежуточных точек, а значит, вопросы «слева/справа» и «в точке $a$ » просто не встают. Определения отличаются ровно тем, что нужно каждому миру: у последовательности — одно условие на хвост $n > N$ , у функции — двусторонняя проколотая окрестность $0 < ∣ x - a ∣ < δ$ . Оба определения говорят одно: «хвост (окрестность) можно сделать сколь угодно близким к пределу».

Что такое односторонние пределы и зачем они?

Это пределы при $x \to a^{-}$ и $x \to a^{+}$ — приближение только слева или только справа. Они нужны там, где функция разного поведения по разные стороны: ступенька $sign (x)$ в нуле имеет пределы $- 1$ и $+ 1$ , а общего предела нет. Предел в точке существует тогда и только тогда, когда оба односторонних существуют и равны — на этом держится вся проверка непрерывности в точках склейки.

Все приёмы решения пределов одинаковы для обоих случаев?

Ядро общее: арифметика пределов, замечательные пределы, эквивалентности, правило Лопиталя — из урока правило Лопиталя. Отличия по краям: для последовательностей есть теорема Штольца и приёмы с монотонностью и ограниченностью, для функций — односторонние пределы и поведение в конечной точке. Практика обоих типов с генератором — в тренажёре пределов и на странице задачи на пределы.

Как быстро доказать отсутствие предела функции в точке?

Найти две последовательности, идущие к точке с разными пределами значений. Для $sin (1/ x)$ выше это серия пиков и серия провалов; для ступеньки — подходы с двух сторон; для $e^{1/ x}$ в нуле — $1$ справа и $0$ слева. Этот приём — прямое следствие Гейне, и он же объясняет, почему отсутствие предела почти всегда демонстрируют именно так: две строки против развёрнутой работы с $ε$ и $δ$ .

Что дальше: оба определения на одном листе — в шпаргалке по пределам, эквивалентности малых — в таблице эквивалентностей, определения — в терминах предел, последовательность и неопределённость. Техника с корнями — в разборе как решать пределы с корнями, практика — в тренажёре пределов последовательностей. Сравнение рядом по курсу: что общего у производной и дифференциала — дифференциал против производной.