🌊 Диффуры🔢 Численные методы

Метод Рунге–Кутты 4-го порядка против метода Эйлера

Q: Какая погрешность у метода Эйлера на отрезке?

Глобальная ошибка масштабируется как $Ch$ — метод первого порядка. Локальная ошибка одного шага порядка $h^2$, но за $N = L/h$ шагов они складываются в $Ch$. В эксперименте при $h = 0{,}1$ к $x = 0{,}5$ накопилось $7{,}6 \cdot 10^{-2}$, и ошибка росла от узла к узлу, потому что каждый шаг стартовал уже с испорченной точки.

РК4Эйлер

Коротко: Численный эксперимент считает РК4: при h = 0,1 его ошибка на x = 0,5 равна 1,3·10⁻⁶ против 7,6·10⁻² у Эйлера, а точность 10⁻⁶ стоит 6 шагов против 415 000. Эйлер — инструмент черновика: прикидки, обучение, отладка.

Задача $y^{'} = x + y$ с начальным условием $y (0) = 1$ — подопытный кролик численных методов: правая часть простая, а ответ известен наперёд — $y (x) = 2 e^{x} - x - 1$ . Проверка занимает две строки: подставляем ноль — $2 - 0 - 1 = 1$ , начальное условие выполнено; дифференцируем — $y^{'} = 2 e^{x} - 1$ , и правая часть $x + y = x + 2 e^{x} - x - 1 = 2 e^{x} - 1$ даёт ровно то же. Значит, оба численных ответа можно сверить с эталоном до последнего знака. Сделаем это честно: оба метода пройдут отрезок от нуля до $x = 0, 5$ с шагом $h = 0, 1$ , и разница окажется драматической — у Эйлера к финишу накопится ошибка $7, 6 \cdot 1 0^{- 2}$ , у Рунге–Кутты четвёртого порядка — $1, 3 \cdot 1 0^{- 6}$ .

Оба метода — шаговые: решение строится по узлам $x_{k} = k h$ , и каждый шаг использует уже посчитанное значение. Разница — в том, сколько информации о правой части метод успевает собрать внутри одного шага. Механика шага Эйлера разобрана в уроке метод Эйлера, а теория ошибок шаговых схем — в курсе численное решение ОДУ; здесь же — живой численный эксперимент с таблицей ошибок.

y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k})

шаг Эйлера: движение по касательной, проведённой в начале отрезка; здесь

f (x, y) = x + y

k_{1} k_{3} y_{k + 1} = f (x_{k}, y_{k}), = f (x_{k} + \frac{h}{2}, y_{k} + \frac{h}{2} k_{2}), = y_{k} + \frac{h}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) . k_{2} k_{4} = f (x_{k} + \frac{h}{2}, y_{k} + \frac{h}{2} k_{1}), = f (x_{k} + h, y_{k} + h k_{3}),

шаг РК4: четыре пробных наклона — в начале, дважды в середине и в конце шага — и взвешенная комбинация

Метод Эйлера: шаг за шагом

Уменьшай шаг!

Оранжевая ломаная — численное решение $y^{'} = f (x, y)$ методом Эйлера: $y_{k + 1} = y_{k} + h f (x_{k}, y_{k})$ . Зелёная кривая — точное решение. Крутите $n$ и смотрите, как ломаная «прилипает» к истине.

Число шагов n6Показывать поле направлений

Эйлер: y

1.733

Точно: y

1.797

Ошибка

3.59%

Метод Эйлера — самый простой численный метод; им решают ОДУ там, где формул не существует.

Таблица ошибок: пять узлов, два метода#

Числа ниже получены прямым прогоном обоих методов (скрипт с арифметикой лежит рядом с проектом — можно повторить в пять строк кода). В каждом узле — точное значение $2 e^{x} - x - 1$ , численные ответы и модуль ошибки. Обратите внимание на порядок величин в столбцах ошибок: слева сотые доли, справа миллионные.

x	Точное решение	Эйлер	Ошибка Эйлера	РК4	Ошибка РК4
0,1	1,110342	1,100000	1,03·10⁻²	1,110342	1,7·10⁻⁷
0,2	1,242806	1,220000	2,28·10⁻²	1,242805	3,7·10⁻⁷
0,3	1,399718	1,362000	3,77·10⁻²	1,399717	6,2·10⁻⁷
0,4	1,583649	1,528200	5,55·10⁻²	1,583648	9,2·10⁻⁷
0,5	1,797443	1,721020	7,64·10⁻²	1,797441	1,3·10⁻⁶

y' = x + y, y(0) = 1, h = 0,1: ошибка Эйлера растёт по отрезку в семь раз, ошибка РК4 остаётся на уровне 10⁻⁷–10⁻⁶

Смотрите на траекторию ошибок Эйлера: 0,010; 0,023; 0,038; 0,055; 0,076. Ошибка не стоит на месте — она копится от шага к шагу, потому что каждый новый шаг стартует уже с испорченной точки и добавляет свою порцию. К концу отрезка множитель между соседними узлами сходит к величине порядка $e^{0, 1} \approx 1, 105$ — так растёт и само решение, у которого главная мода $2 e^{x}$ . У РК4 картина другая: 1,7·10⁻⁷; 3,7·10⁻⁷; 6,2·10⁻⁷; 9,2·10⁻⁷; 1,3·10⁻⁶ — рост есть, но в исходной единицах это тысячные доли процента. На финишной прямой разница между методами — 60 000 раз.

Почему O(h⁴) против O(h): анатомия ошибки#

Причина лежит в ряде Тейлора — полный разбор в уроке формула Тейлора. Точное решение за шаг меняется на $y (x + h) = y (x) + h y^{'} + \frac{h ^{2}}{2} y^{''} + \dots$ Шаг Эйлера берёт из этого ряда только первый член с $h$ . Всё, что начинается с $h^{2}$ , — локальная ошибка шага: на нашей задаче в точке $(0, 1)$ производная $y^{''} = 1 + y^{'} = 2$ , и первый шаг врёт примерно на $\frac{h ^{2}}{2} y^{''} = 0, 005 \cdot 2 = 0, 01$ . Сверьте с таблицей: реальная ошибка первого шага — 0,010342. Совпадение не случайность, а подтверждение модели.

За пять шагов локальные ошибки складываются в глобальную, и у Эйлера она масштабируется как $C h$ : делим шаг пополам — ошибка падает примерно вдвое. РК4 устроен хитрее: четыре наклона $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ подобраны так, что при разложении в ряд Тейлора члены до $h^{4}$ включительно взаимно сокращаются. Локальная ошибка шага — $O (h^{5})$ , глобальная на отрезке — $O (h^{4})$ ; аккуратная терминология — в терминах порядок сходимости и в карточке метод Рунге–Кутты четвёртого порядка.

e (h) \approx C h^{p}, p_{Эйлер} = 1, p_{РК 4} = 4

глобальная ошибка на фиксированном отрезке;

C

зависит от задачи, но порядок

p

— паспорт метода

Порядок проверяется на наших же числах: уменьшаем $h$ с 0,1 до 0,05 и смотрим на ошибку в $x = 0, 5$ . У Эйлера 0,0764 переходит в 0,0397 — отношение 1,93, близко к двум, эмпирический порядок $p = lo g_{2} 1, 93 = 0, 95$ . У РК4 1,26·10⁻⁶ переходит в 8,2·10⁻⁸ — отношение 15,4, близко к шестнадцати, $p = 3, 94$ . Теория предсказала 2 и 16 — практика согласилась с точностью до нескольких процентов. Отсюда же растёт и разрыв между методами с уменьшением шага: четыре десятичных знака разницы в порядке — это множитель, который на каждом уплотнении сетки растёт ещё в восемь раз.

Куда уходит ошибка Эйлера

Живой график

Голубая кривая — точное решение $y = 2 e^{x} - x - 1$ , янтарная прямая $y = 1 + x$ — касательная в точке старта, то есть ровно то, что рисует первый шаг Эйлера. Тащите взгляд вдоль прямой: уже к $x = 1$ касательная отстаёт от кривой почти на пол-единицы.

Тяните ползунки — график перестраивается мгновенно.

Первый шаг РК4 вручную: k1…k4

Открывай шаги

Сначала попробуйте сделать шаг сами, потом открывайте и сверяйтесь. За полный проход начисляется XP.

Первый шаг уже показывает всю пропасть между методами. Эйлер из $(0, 1)$ шагает в $1 + 0, 1 \cdot 1 = 1, 1$ — ошибка 0,010342. РК4 приходит в 1,110342 с ошибкой 1,7·10⁻⁷ — в 61 000 раз меньше, хотя потратил четыре вычисления правой части против одного. Дальше по отрезку разрыв только растёт, потому что у Эйлера каждая новая порция ошибки ложится на уже накопленную.

Цена точности: шагов на единицу точности#

Практичный критерий выбора метода — сколько шагов и вычислений правой части стоит заданная точность. Дожмём оба метода до ошибки $1 0^{- 6}$ в точке $x = 0, 5$ . У РК4 хватает шести шагов ( $h = 0, 0833$ ): прямым счётом — ошибка 6,2·10⁻⁷, всего 24 вычисления $f$ . У Эйлера при 400 000 равномерных шагов ошибка всё ещё 1,03·10⁻⁶, порог берётся около 415 000 шагов — и столько же вычислений $f$ . Разница в семнадцать тысяч раз по числу обращений к правой части; если $f$ — не «икс плюс игрек», а тяжёлая модель, это разница между секундами и сутками.

Метод	Порядок	Вычислений f на шаг	Шагов до 10⁻⁶ на [0; 0,5]	Когда применять
Эйлер	$O (h)$	1	около 415 000	грубые прикидки, обучение, отладка, эскиз интегральной кривой
РК4	$O (h^{4})$	4	6	численный эксперимент, отчётные значения, моделирование

Цена одной и той же точности 10⁻⁶ на задаче y' = x + y, y(0) = 1

Полезно перевести порядок в курс валют. Одна дополнительная верная десятичная цифра стоит Эйлеру десятикратного роста числа шагов, а РК4 — роста в $1 0^{1/4} \approx 1, 78$ раза. Хотите пять знаков вместо трёх? Эйлер умножает счёт на сто, РК4 — примерно на три. Именно поэтому в реальных расчётах порядок метода важнее скорости одного шага: дешёвый шаг Эйлера не окупается своей дешевизной ни на одном порядке точности выше черновой.

Оценить, как вообще ведёт себя решение — растёт, затухает, колеблется, — пока формула решения не найдена. Три верных знака тут лишние.
Понять механику шаговых методов: на Эйлере видно само происхождение ошибки, локальная и глобальная части разделяются руками.
Отладить код более серьёзного метода: простая схема — прозрачный эталон, и расхождение сразу указывает на баг в правой части или в шаге.
Считать на очень коротком отрезке, где решение не успевает уйти от касательной: на $[0; 0, 1]$ при $h = 0, 01$ Эйлер даёт около трёх верных знаков.

Ловушка: «уменьшу шаг — и Эйлер дожмёт»

Дожать Эйлер шагом можно, но курс грабительский: минус один порядок ошибки — минус десятикратный запас времени, а ошибка всё равно копится вдоль решения пропорционально его росту. На длинных отрезках, где решение растёт как

e^{x}

, накопленная ошибка Эйлера растёт вместе с ним — таблица выше это показывает вживую: с 0,010 до 0,076 за пять шагов. Куда честнее тратить вычисления на метод с порядком выше — об этом же говорит разбор источники погрешностей.

Проверь себя+15 XP

Шаг РК4 уменьшили вдвое: $h = 0, 1$ заменяем на $h = 0, 05$ . Во сколько раз примерно упадёт глобальная ошибка на отрезке?

Проверь себя+15 XP

Ошибка Эйлера в точке $x = 0, 5$ при $h = 0, 1$ равна $7, 6 \cdot 1 0^{- 2}$ . Сколько примерно равномерных шагов нужно, чтобы дожать её до $1 0^{- 6}$ ?

Проверь себя+15 XP

Где Эйлер — разумный выбор, а не вредительство?

Как это спрашивают на зачёте

Три типовых задания. Первое: посчитайте один шаг РК4 вручную — здесь проверяют, что

k_{2}

k_{3}

берутся в середине шага и каждый со своим предсказанием; перепутанные середины стоят всех баллов. Второе: объясните, почему у Эйлера глобальная ошибка

O (h)

, а локальная

O (h^{2})

— ответ через ряд Тейлора и «минус один порядок при накоплении». Третье: оцените число шагов до заданной точности по формуле

e (h) \approx C h^{p}

— константу

C

берут из одного пробного прогона.

Частые вопросы

Что означает O(h⁴) у метода Рунге–Кутты 4-го порядка?

Это порядок глобальной ошибки на фиксированном отрезке: при уменьшении шага в $k$ раз ошибка падает примерно в $k^{4}$ раз. Пополам шаг — ошибка в 16 раз меньше; в нашем эксперименте получилось 15,4. Четвёрка в названии метода и четвёрка в показателе — одно и то же число: четыре наклона $k_{1}$ – $k_{4}$ подобраны так, чтобы убить члены ряда Тейлора до $h^{4}$ включительно.

Какая погрешность у метода Эйлера на отрезке?

Глобальная ошибка масштабируется как $C h$ — метод первого порядка. Локальная ошибка одного шага порядка $h^{2}$ , но за $N = L / h$ шагов они складываются в $C h$ . В эксперименте при $h = 0, 1$ к $x = 0, 5$ накопилось $7, 6 \cdot 1 0^{- 2}$ , и ошибка росла от узла к узлу, потому что каждый шаг стартовал уже с испорченной точки.

Когда метода Эйлера действительно достаточно?

Когда задача — качественная, а не количественная: понять форму решения, проверить знак и масштаб, показать студенту, откуда берётся ошибка, отладить код серьёзного метода. Ещё один законный случай — очень короткие отрезки при мелком шаге. Для любых отчётных чисел берите РК4: разница в цене вопроса — 415 000 шагов против 6 при точности $1 0^{- 6}$ .

Почему РК4 не всегда лучше Эйлера, ведь он точнее?

Скорость появления ответа у Эйлера выше там, где точность не нужна, а его прозрачность помогает в обучении и отладке. Но главная честная оговорка — жёсткие задачи: оба метода явные, и на жёстких системах шаг любого из них режется условием устойчивости до бессмысленно мелкого. Там нужны неявные схемы — это уже другая история и другие методы.

Как на практике проверить порядок метода?

Прогоните задачу с известным решением двумя шагами, $h$ и $h /2$ , снимите ошибки $e (h)$ и $e (h /2)$ и посчитайте $p = lo g_{2} (e (h) / e (h /2))$ . В нашем эксперименте Эйлер дал $p = 0, 95$ , РК4 — $p = 3, 94$ : оба числа совпали с паспортными в пределах нескольких процентов. Если получилось что-то иное — ищите ошибку в коде правой части.

Что дальше: механику шагов отработайте в тренажёре по дифференциальным уравнениям и тренажёре численных методов, задачи с разборами — в задачах по дифурам, формулы под рукой — в шпаргалке по дифференциальным уравнениям, маршрут решения — в разборе как решать ДУ. Определение объекта — в терминах дифференциальное уравнение. Смежное сравнение с другим численным экспериментом, где правая часть $y^{'} = y$ , — в материале Рунге–Кутта 4 и Эйлер: опыт y′ = y; а про то, что бывает, когда явным методам (включая РК4) становится плохо, — в сравнении жёсткие ОДУ против мягких.