Метод Рунге–Кутты четвёртого порядка

Хороший разведчик перед маршем не спрашивает дорогу один раз: смотрит под ноги в начале, дважды присматривается в середине шага и оглядывается на конце — потом делает усреднённый ход. Метод Рунге–Кутты четвёртого порядка работает именно так. На каждом шаге считаются четыре наклона $k_1,k_2,k_3,k_4$ — в начале, дважды в середине и в конце шага — и смешиваются с весами $1:2:2:1$. Локальная ошибка шага порядка $h^5$, накопленная — порядка $h^4$; производные правой части не нужны, стартовать можно с любого $x_0$.

Проверка на уравнении $y^{\prime }=y$, где точный ответ $e^x$. Один шаг $h=0.1$ из нуля даёт $y_1=1.105170833$ против $e^{0.1}=1.105170918$: ошибка $8.5\cdot 10^{-8}$, как и положено по порядку $h^5/120\approx 8.3\cdot 10^{-8}$. На отрезке $[0,1]$ десятью шагами набегает около $2\cdot 10^{-6}$. Уменьшение шага вдвое режет накопленную ошибку примерно в пятнадцать раз — теория обещает $2^4=16$. Для контраста: явный Эйлер с тем же шагом к единице ошибается на $0.1245$ — разница в пять порядков. Подробности шаговых методов — в уроке численное решение ОДУ, разложение, рождающее веса, — в терминах ряд Тейлора, практические потери — в источниках погрешностей.