Эпюры N, Q и M: чем отличаются и как связаны

Первая контрольная по сопромату заканчивается одинаково: балка рассчитана, три эпюры нарисованы — и три вопроса преподавателя подряд. Почему у поперечной силы под грузом скачок? Почему у момента под ним не скачок, а излом? И почему продольная сила всюду ноль, если балка явно «нагружена»? Ответы не в бумажке с формулами, а в одной идее: N, Q и M — это три разных способа, которыми соседние части стержня давят друг на друга.

Разберём, что каждый фактор измеряет, как они связаны зависимостями Журавского и как за минуту поймать собственную ошибку. База — уроки метод сечений и напряжения и поперечный изгиб; слово эпюра означает «график по длине стержня» — с ним и будем работать.

Зачем стержню три эпюры: что происходит внутри сечения?#

Метод сечений начинается с разреза. Стержень мысленно режется на две части, действие отброшенной части на оставшуюся заменяется силовыми факторами — и раскладывается по осям сечения. Вдоль оси действует продольная сила N: тянет волокна в разные стороны — растяжение, сдавливает — сжатие. Поперёк действует поперечная сила Q: она пытается сдвинуть слои друг относительно друга, как колоду карт. Плюс момент M, который изгибает стержень. Три фактора — три независимых способа нагружения одного и того же сечения.

Ощутить разницу помогает резиновый брусок: потяните за концы — работает N; нажмите поперёк, чтобы одна половина съехала относительно другой — работает Q; согните — работает M. У каждого фактора свои задачи: N — главная величина в тягах, стойках и фермах (урок растяжение и сжатие); Q и M — в балках (поперечный изгиб); в валах добавляется четвёртый этаж — крутящий момент (кручение валов). Полный список — в термине внутренние силовые факторы.

Как связаны эпюры между собой: зависимости Журавского#

Три эпюры не живут порознь — их связывает дифференцирование. Если нагрузка $q(x)$ распределена по балке, то интенсивность, поперечная сила и момент образуют цепочку:

Из двух строк выводится вся геометрия эпюр — «переводчик» с языка нагрузки на язык графиков:

• Нет распределённой нагрузки (q = 0) → Q постоянна, M — прямая. Скачок в Q возможен только под сосредоточенной силой.
• Равномерная нагрузка q = const → Q — наклонная прямая, M — парабола выпуклостью навстречу нагрузке.
• Экстремум M ищите там, где Q пересекает нуль и меняет знак: производная момента — это поперечная сила.
• Под сосредоточенной силой F эпюра Q скачет ровно на F, а M получает излом; под сосредоточенным моментом скачет эпюра M — на величину момента, а Q не меняется.

Этим же правилом эпюры проверяются друг по другу: построили Q — продифференцируйте её глазами и получите наклон M на каждом участке. Ошибка в одной эпюре почти всегда проступает в соседней, поэтому контроль занимает минуту.

Как выглядит расчёт: балка с силой и распределённой нагрузкой#

Шарнирная балка пролётом $L=6$ м. Сосредоточенная сила $F=12$ кН вниз на расстоянии 2 м от левой опоры A, равномерная нагрузка $q=2$ кН/м по всей длине. Сначала реакции: уравнение моментов вокруг A даёт вклад силы $12\cdot 2=24$ и равнодействующей нагрузки $2\cdot 6=12$ кН на плече 3 м, то есть 36:

Поперечная сила. На первом участке $0\le x<2$: $Q=14-2x$ — от 14 кН у опоры до 10 кН перед силой. В точке приложения $F$ эпюра скачет вниз на 12: становится $-2$ кН. Дальше $Q=2-2x$: от $-2$ до $-10$ кН у правой опоры, где реакция 10 кН закрывает эпюру в ноль. Скачок ровно на величину силы, непрерывность в остальном — всё по правилам.

Момент. На первом участке $M=14x-x^2$: в середине $M(1)=13$ кН·м, под силой $M(2)=24$ кН·м. На втором $M=2x+24-x^2$: при $x=4$ выходит 16, у правой опоры ноль. Проверка экстремума: $Q=0$ даёт $x=7$ — вне балки, значит внутри участков момент монотонен, и максимум лежит на стыке — под силой. Там у эпюры M излом: слева наклон 10, справа минус 2 — точно как значения Q по обе стороны.

Продольная сила. Все нагрузки вертикальны, вдоль оси балки ничего не действует — эпюра N нулевая на всей длине. Это нормальная ситуация для обычной балки, и рисовать нулевую эпюру всё равно полезно: она доказывает, что вы проверили осевые составляющие. Зато стоит добавить наклонную силу — и между опорами появится прямоугольник.

Где N — главный герой, покажет стержень. Заделка слева в точке A, в середине C приложена сила 40 кН, направленная к заделке, на правом конце B — 15 кН от заделки. Реакция заделки — 25 кН вправо. Сечение между A и C: справа от него остаются $15-40=-25$ кН, то есть $N=-25$ кН — сжатие. Сечение между C и B: справа только 15 кН, $N=+15$ кН — растяжение. Эпюра состоит из двух прямоугольников, и весь расчёт — два столбика арифметики.

Что сложнее: одна эпюра N или связка Q–M?#

Эпюра N — самая простая из трёх: два правила (знак по растяжению-сжатию и скачок под продольной силой) плюс прямоугольники. Ошибки здесь случаются от невнимания к направлению сил, а не от непонимания. Эпюра Q на ступень выше: правило знаков (сила слева от сечения, направленная вверх, даёт плюс), наклоны от распределённой нагрузки, скачки под силами.

Самая коварная — эпюра M. В ней три слоя одновременно: конвенция знаков (какая волокно растянуто), изломы под силами, параболы под нагрузкой и экстремумы при $Q=0$. Типовые потери баллов: забыть скачок под сосредоточенным моментом, перепутать выпуклость параболы, не найти экстремум там, где Q меняет знак. Лекарство одно — проверка дифференцированием: наклон M обязан совпадать с Q на каждом участке.

Ради чего всё это: по эпюрам ищут опасное сечение и считают напряжения. Нормальные напряжения при изгибе растут пропорционально моменту — разбор в уроке напряжения при изгибе и термине нормальное напряжение; по $M_{\max }$ подбирают момент сопротивления сечения. Продольная сила даёт равномерные напряжения $\sigma =N/A$ по сечению — проще, но тоже требует своей эпюры.

Что тренировать сначала?#

Порядок отработки линейный. Сначала метод сечений на чистом растяжении-сжатии: научиться собирать N по участкам. Затем балка без распределённой нагрузки — прямые и скачки, минимум дифференциальных сюрпризов. Потом балка с q — парабола, экстремум, выпуклость. И на каждом шаге — контроль Журавским. Практика с мгновенной проверкой — тренажёр эпюр.

1. 1
   Шаг 1: реакции — сумма моментов вокруг каждой опоры; проверка по вертикали и по горизонтали (если есть наклонные силы).
2. 2
   Шаг 2: разметить участки. Границы — опоры, точки приложения сил и моментов, края распределённой нагрузки.
3. 3
   Шаг 3: на каждом участке записать Q(x) и M(x) через силы слева от сечения (или справа — как короче).
4. 4
   Шаг 4: посчитать значения на концах участков; найти точку, где Q = 0, если она попадает на участок — там экстремум M.
5. 5
   Шаг 5: закрыть контроль: скачки Q на силах, изломы M под ними, наклон M совпадает с Q, эпюры приходят в ноль на шарнирных опорах.

Дальше по теме: основы — метод сечений и напряжения и растяжение и сжатие; изгиб — поперечный изгиб и напряжения при изгибе. Термины: эпюра, нормальное напряжение, момент сопротивления сечения. Практика — тренажёр эпюр.