📈 Матанализ

Дифференциал против производной: кто из них кто

Q: Дифференциал — это «бесконечно малое приращение»?

Удобно думать так, но строго — нет. Дифференциал $dy$ — вполне конечная функция двух аргументов: точки $x$ и шага $dx$; он линеен по $dx$ и отличается от истинного приращения на величину второго порядка малости. «Бесконечно малым» его делает предельный переход: при $dx \to 0$ отношение $\frac{dy}{dx}$ сходится к производной. Различение «малого шага» и «бесконечно малого» — та самая точка, где начинаются и Leibniz-нотация, и все тонкости вторых дифференциалов.

Q: Как связаны дифференциал и интеграл?

Напрямую: переменная интегрирования в $\int f(x)\,dx$ — это дифференциал, и именно поэтому замена переменной работает механически: под $dx$ подставляется $g'(t)\,dt$, форма записи сохраняется благодаря инвариантности. В применениях интеграла дифференциал — «элемент» величины: элемент длины $\sqrt{1 + (y')^2}\,dx$, элемент объёма $\pi y^2\,dx$ — и интеграл суммирует эти элементы. Смотрите [приложения интеграла](/course/matanaliz/prilozheniya-integrala/) и сравнение [определённый против неопределённого интеграла](/sravneniya/opredelennyi-vs-neopredelennyi-integral/).

ДифференциалПроизводная

Коротко: Производная $f'(x)$ — число в каждой точке: скорость изменения, наклон касательной. Дифференциал $dy = f'(x)\,dx$ — линейная часть приращения: лучшее линейное приближение того, как меняется $f$. Разница: $\Delta y - dy$ — уже второго порядка малости, и на этом держатся все приближённые вычисления.

План на семестр Вердикт: с чего начать

Спор о терминах здесь не буквальный: дифференциал без производной не существует — он её произведение с $d x$ . Вопрос настоящий: зачем нужны две сущности, если в формуле $d y = f^{'} (x) d x$ есть только одна новизна? Ответ: они отвечают на разные вопросы и живут в разных конструкциях. Производная — скорость, локальный наклон, число. Дифференциал — линейная замена приращения, рабочая лошадь приближённых вычислений и переменной интегрирования. Смешение двух понятий — источник половины ошибок в теме «применения производной».

Определения — в уроке производная: определение; здесь — граница между понятиями, живые числа и то, где дифференциал незаменим.

Δ y = f (x + Δ x) - f (x) \approx d y = f^{'} (x) d x, Δ y - d y = o (Δ x)

приращение раскладывается на линейную часть (дифференциал) и остаток второго порядка малости

Числа, которые всё объясняют. Возьмём $f (x) = x^{2}$ в точке $x = 1$ с приращением $d x = 0, 1$ . Настоящее приращение: $Δ y = 1, 1^{2} - 1^{2} = 0, 21$ . Дифференциал: $d y = 2 \cdot 1 \cdot 0, 1 = 0, 2$ . Разница — $0, 01$ , ровно $(d x)^{2}$ : остаток второго порядка. При $d x = 0, 01$ остаток упадёт до $0, 0001$ — в сто раз быстрее, чем уменьшилось приращение. В этом и есть смысл линейной части: она ошибка вперёд на порядок.

Чем отличается дифференциал от производной: таблица#

Критерий	Производная $f'(x)$	Дифференциал $dy = f'(x)\,dx$
Что это	число (предел отношения)	функция двух переменных: точки и приращения
Вопрос	с какой скоростью меняется $f$ ?	на сколько примерно изменится $f$ ?
Геометрия	наклон касательной	подъём касательной при шаге $d x$
Точность	точная характеристика	линейное приближение с ошибкой $o (d x)$
Зависит от	только точки $x$	точки $x$ и шага $d x$
Где незаменим	монотонность, экстремумы, Лопиталь	приближения, погрешности, замена переменной в интегралах
Форма записи	$f^{'} (x)$ , $\frac{df}{d x}$	$d y$ , $df$

Производная — паспорт скорости; дифференциал — линейная модель движения

Приближённые вычисления: главный козырь дифференциала#

Функция $f (x) = x$ , удобная точка $x_{0} = 4$ , шаг $d x = 0, 02$ .
Производная: $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ , в точке $4$ : $f^{'} (4) = \frac{1}{4} = 0, 25$ .
Дифференциал: $d y = 0, 25 \cdot 0, 02 = 0, 005$ .
Линейное приближение: $f (4, 02) \approx f (4) + d y = 2 + 0, 005 = 2, 005$ .
Контроль: $2, 00 5^{2} = 4, 020025$ , значит истинное значение $\approx 2, 004994$ — ошибка шесть стотысячных. Четыре верных знака из одной строки.

Та же механика считает распространение ошибок: если $y = f (x)$ измеряется с погрешностью $Δ x$ , абсолютная погрешность $y$ примерно $∣ f^{'} (x) ∣ Δ x$ , а относительная — $\frac{x f ^{'} ( x )}{f ( x )} \cdot \frac{Δ x}{x}$ . Например, площадь круга $S = π r^{2}$ чувствует радиус удвоенно: $d S = 2 π r d r$ , относительная ошибка площади вдвое больше относительной ошибки радиуса. Измерили радиус с точностью $1%$ — площадь известна с точностью $2%$ , и это не дефект измерения, а квадратичная природа площади.

Инвариантность формы: почему физики любят $dy$#

У дифференциала есть свойство, которого нет у производной: форма записи не зависит от того, является ли переменная независимой или промежуточной. Если $y = f (u)$ и $u = g (x)$ , то $d y = f^{'} (u) d u$ — и в этом смысле $d u$ само равно $g^{'} (x) d x$ , так что цепочка собирается без оговорок. Производная второй руки так не пишет: $\frac{d y}{d x} \neq = \frac{d y}{d u}$ . Инвариантность — причина, по которой замена переменной в интегралах механически надёжна: $\int f (u) d u$ превращается в $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x$ ровно одной подстановкой. Полная техника замен — в разборе метод замены и по частям.

Касательная под вашим пальцем

Тащи точку!

Схватите точку на кривой $y = y = x^{2}$ и потащите — касательная (зелёная) всегда показывает мгновенную скорость. Включите «секущую», чтобы увидеть, как при уменьшении $h$ секущая поворачивается в касательную: в этом и есть предел $l i m_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}$ .

x₀

1.00

f(x₀)

1.00

f′(x₀) — касательная

2.000

Заметьте: там, где кривая круче, касательная — круче. Производная и есть «крутизна».

Проверь себя+15 XP

$f (x) = x^{3}$ , $x = 2$ , $d x = 0, 1$ . Чему равен $d y$ ?

Проверь себя+15 XP

Сопротивление $R = \frac{U}{I}$ измеряется: вольтметр врёт на $+ 2%$ , амперметр — на $+ 1%$ . Какова примерно относительная погрешность $R$ ?

Частые вопросы

Дифференциал — это «бесконечно малое приращение»?

Удобно думать так, но строго — нет. Дифференциал $d y$ — вполне конечная функция двух аргументов: точки $x$ и шага $d x$ ; он линеен по $d x$ и отличается от истинного приращения на величину второго порядка малости. «Бесконечно малым» его делает предельный переход: при $d x \to 0$ отношение $\frac{d y}{d x}$ сходится к производной. Различение «малого шага» и «бесконечно малого» — та самая точка, где начинаются и Leibniz-нотация, и все тонкости вторых дифференциалов.

Почему у дифференциала пишут $d x$ , а у производной $\frac{d y}{d x}$ ?

Лейбницова нотация устроена как дробь не случайно: она кодирует, что $d y$ линейно зависит от $d x$ с коэффициентом $f^{'} (x)$ . Дробная запись удобна для цепного правила и замены переменных, но буквальное деление приращений — не определение: производная — предел отношения, а не отношение пределов. Ввторых производных нотация $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ уже не «дробь»: $d x^{2}$ — это $(d x)^{2}$ в знаменателе, и переставлять куски так свободно, как в арифметике дробей, нельзя.

Всегда ли линейное приближение достаточно?

Смотрите на масштаб шага. Ошибка линейного приближения имеет порядок $\frac{∣ f ^{''} ∣}{2} (Δ x)^{2}$ , поэтому при маленьких шагах она пренебрежима, а при больших — нет. Для $4, 02$ шаг $0, 02$ дал шесть верных стотысячных; для $9$ от точки $4$ ( $Δ x = 5$ ) линейное приближение $2 + 0, 25 \cdot 5 = 3, 25$ против истинных $3$ — ошибка уже заметная. Правило: чем кривее функция в окрестности (больше $∣ f^{''} ∣$ ), тем меньше должен быть шаг.

Как связаны дифференциал и интеграл?

Напрямую: переменная интегрирования в $\int f (x) d x$ — это дифференциал, и именно поэтому замена переменной работает механически: под $d x$ подставляется $g^{'} (t) d t$ , форма записи сохраняется благодаря инвариантности. В применениях интеграла дифференциал — «элемент» величины: элемент длины $1 + (y^{'})^{2} d x$ , элемент объёма $π y^{2} d x$ — и интеграл суммирует эти элементы. Смотрите приложения интеграла и сравнение определённый против неопределённого интеграла.

Что дальше: техника дифференцирования — в разборе как решать производные и шпаргалке производных; практика — на странице задачи на производные и в тренажёре производных; определения — в терминах производная и касательная. Смежное сравнение о том, где производная встречается с интегралом, — производная против интеграла; а куда дифференциал ведёт дальше — двойные интегралы.

Чем отличается дифференциал от производной: таблица#

Приближённые вычисления: главный козырь дифференциала#

Инвариантность формы: почему физики любят $dy$#

Касательная под вашим пальцем

Частые вопросы

Дифференциал — это «бесконечно малое приращение»?

Почему у дифференциала пишут dx, а у производной dxdy​?

Всегда ли линейное приближение достаточно?

Как связаны дифференциал и интеграл?

Касательная под вашим пальцем

Почему у дифференциала пишут $d x$ , а у производной $\frac{d y}{d x}$ ?