📈 Матанализ

Локальный против глобального экстремума: где искать

Q: Как связаны локальный экстремум и критическая точка?

Критическая точка — кандидат: внутренняя точка, где $f' = 0$ или производной нет. Теорема Ферма говорит, что все локальные экстремумы сидят среди кандидатов, но не каждый кандидат — экстремум: $x^3$ в нуле — критическая точка без экстремума. Финальный вердикт ставит смена знака производной, знак второй производной или сравнение значений. Полный алгоритм с примерами — в разборе [как находить экстремумы](/kak-reshat/ekstremumy/).

ЛокальныйГлобальный

Коротко: Локальный экстремум — чемпион окрестности: $f(a)$ не хуже соседей в узком поясе вокруг $a$. Глобальный — чемпион всего множества. Кандидаты на локальный — критические точки из уравнения $f'(x) = 0$; на глобальный — они же плюс концы отрезка, и без сравнения значений глобальный не назначается.

План на семестр Вердикт: с чего начать

Слово «экстремум» одно, а вопросов два, и на контрольной они идут подряд: «найдите экстремумы» и «найдите наибольшее и наименьшее значения на отрезке». Второй вопрос дешевле первого по усилиям и дороже по последствиям ошибки: забыть концы отрезка — классика, за которую снимают половину баллов. Свяжем оба понятия на одной функции, где всё случается сразу: и проигранный локальный максимум, и глобальный минимум-близнец.

Определения и полная схема исследования — в уроках исследование функции и теоремы о среднем; термин с точной формулировкой — экстремум.

f (x) = x^{3} - 3 x, x \in [- 2; 3] : f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)

критические точки

x = \pm 1

; но список кандидатов на глобальные рекорды ещё не полный — впереди концы отрезка

Два определения: окрестность против всего множества#

Точка $a$ — локальный максимум, если в какой-то окрестности $a$ выполняется $f (x) \leq f (a)$ . Размер окрестности не важен — годится любой пояс, хоть толщиной в волос. Глобальный максимум на множестве $E$ — это $f (a) \geq f (x)$ для всех $x$ из $E$ сразу. Отсюда вся драматургия: локальный чемпион может проиграть чемпионату мира, потому что где-то далеко график уходит выше. И наоборот: глобальный рекорд не обязан быть локальным — если он стоит на конце отрезка, у него нет окрестности внутри множества, а сравниваться не с кем.

Критерий	Локальный экстремум	Глобальный экстремум
Территория сравнения	некоторая окрестность точки	всё множество $E$ (весь отрезок)
Где искать кандидатов	внутренние критические точки: $f^{'} = 0$ или $f^{'}$ не существует	критические точки плюс границы $E$
Необходимое условие	Ферма: $f^{'} (a) = 0$ или не существует (для внутренних точек)	нет аналога на границе — там производная при чём
Гарантия существования	не гарантируется	теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке достигает max и min
Сколько их бывает	сколько угодно	значение — одно, точек может быть несколько
Типовой вопрос	«исследовать на экстремум»	«найти наибольшее/наименьшее значение»

Локальный — про соседей, глобальный — про всех; концы отрезка участвуют только во втором

Считаем $x^3 - 3x$ до конца#

Знак производной: $+$ на $(- \infty; - 1)$ , $-$ на $(- 1; 1)$ , $+$ на $(1; + \infty)$ — смена знака есть в обеих критических точках.
$x = - 1$ : подъём сменился спуском — локальный максимум, $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ .
$x = 1$ : спуск сменился подъёмом — локальный минимум, $f (1) = 1 - 3 = - 2$ .
Концы отрезка: $f (- 2) = - 8 + 6 = - 2$ и $f (3) = 27 - 9 = 18$ .
Глобальный максимум на $[- 2; 3]$ : сравниваем ${2, - 2, - 2, 18}$ — это $18$ в точке $x = 3$ , на конце, не в критической точке.
Глобальный минимум: $- 2$ сразу в двух местах — в критической $x = 1$ и на конце $x = - 2$ .

Две морали. Первая: локальный максимум $f (- 1) = 2$ — вовсе не рекорд отрезка, его обыгрывает конец $x = 3$ со значением $18$ . Вторая: глобальный минимум оказался в двух точках, и одна из них — конец отрезка, где признак Ферма не работал вовсе. Если бы в ответе стояло только $x = 1$ , половина очков улетела бы.

Хамелеон $x^{3} - 3 x$ : всё зависит от окна

Живой график

Синяя кривая с отмеченными критическими точками. На отрезке $[- 2; 3]$ глобальный максимум — правый конец со значением $18$ ; сожмите окно до $[- 2; 2]$ — и роль глобального максимума перейдёт к локальному чемпиону $f (- 1) = 2$ . Глобальность — свойство пары «функция плюс множество».

Тяните ползунки — график перестраивается мгновенно.

Ловушка: критическая точка — не экстремум

f^{'} (a) = 0

— только заявка. У

y = x^{3}

в нуле производная нулевая, но функция монотонно растёт через эту точку: перегиб, а не экстремум. Проверяйте смену знака производной или второй производной, а после нахождения всех кандидатов обязательно сравнивайте значения. И помните про концы отрезка: Ферма на них не действует, но Вейерштрасс гарантирует, что рекорды живут именно среди критических точек и концов.

Проверь себя+15 XP

Непрерывная функция на отрезке $[a; b]$ . Где гарантированно живут её наибольшее и наименьшее значения?

Проверь себя+15 XP

Может ли глобальный максимум не быть локальным?

Частые вопросы

Обязательно ли проверять вторую производную при исследовании на экстремум?

Нет — достаточно первой, если аккуратно следить за знаками: смена плюса на минус даёт локальный максимум, минуса на плюс — минимум. Вторая производная — просто быстрый тест, когда знаки считать неудобно: $f^{''} (a) < 0$ — максимум, $f^{''} (a) > 0$ — минимум, а при $f^{''} (a) = 0$ тест молчит и приходится возвращаться к знакам. Для задач на наибольшее значение на отрезке вторая производная не нужна вовсе — там работает сравнение чисел.

Что если отрезок заменить открытым интервалом?

Гарантия Вейерштрасса исчезает: непрерывная на $(a; b)$ функция может не достигать точных граней. Пример: $f (x) = x$ на $(0; 1)$ — супремум равен $1$ , но наибольшего значения нет, потому что $x = 1$ в множестве не лежит. Поэтому в открытых случаях работают пределы на концах: если $lim_{x \to b^{-}} f (x) = L$ , глобального максимума при значениях ниже $L$ не будет, и сравнивать надо критические точки с этими пределами.

Как связаны локальный экстремум и критическая точка?

Критическая точка — кандидат: внутренняя точка, где $f^{'} = 0$ или производной нет. Теорема Ферма говорит, что все локальные экстремумы сидят среди кандидатов, но не каждый кандидат — экстремум: $x^{3}$ в нуле — критическая точка без экстремума. Финальный вердикт ставит смена знака производной, знак второй производной или сравнение значений. Полный алгоритм с примерами — в разборе как находить экстремумы.

Чем всё это отличается для функций двух переменных?

Локальная теория усложняется: критические точки — где обе частные производные нулевые, и без проверки гессиана они расщепляются на минимум, максимум и седло — точный разбор в уроке функции нескольких переменных. Глобальная — упрощается по духу: на замкнутом ограниченном множестве рекорды живут в критических точках внутри и на границе, но граница сама становится кривой, по которой нужно отдельное исследование — свести её к одномерной задаче на параметры.

Что дальше: практика с генератором — на странице задачи на производные и в тренажёре производных; алгоритм исследования — в разборе как исследовать функцию; таблица производных под рукой — в шпаргалке; определение — в термине производная. Прикладная версия этой же темы — разбор оптимизационных задач на странице типов задач.

Два определения: окрестность против всего множества#

Считаем $x^3 - 3x$ до конца#

Хамелеон x3−3x: всё зависит от окна

Частые вопросы

Обязательно ли проверять вторую производную при исследовании на экстремум?

Что если отрезок заменить открытым интервалом?

Как связаны локальный экстремум и критическая точка?

Чем всё это отличается для функций двух переменных?

Хамелеон x3−3x: всё зависит от окна

Хамелеон $x^{3} - 3 x$ : всё зависит от окна

Хамелеон $x^{3} - 3 x$ : всё зависит от окна