Неопределённый и определённый интеграл: разница простыми словами

Слово одно, значок почти один, а объекты — из разных миров: неопределённый интеграл возвращает функцию (точнее, целое семейство), определённый — число. Проще всего почувствовать разницу через вопросы. Неопределённый спрашивает: «какая функция имеет производную $3x^2$?» — и честно отвечает перечнем всех кандидатов, ведь производная стирает константы. Определённый спрашивает: «сколько накопилось на отрезке от нуля до единицы?» — и отвечает одним числом.

Теория по обе стороны — в уроках неопределённый интеграл и определённый интеграл; термин — интеграл. Здесь — разница на одном сквозном примере, максимально простыми словами.

Таблица различий простыми словами#

Почему константа обязательна только слева? Потому что у производных $x^3$, $x^3+5$, $x^3-\pi$ одно и то же значение $3x^2$: дифференцирование стирает константу, и интегрирование не может угадать, какая была до этого, — честно возвращает весь набор. В определённом интеграле константа гибнет сама: $(x^3+C){|}_0^1=(1+C)-(0+C)=1$ — при вычитании $C$ сокращается, и это не небрежность, а точное свойство.

Один интеграл в двух ролях#

1. 1
   Неопределённый: первообразная косинуса с тройкой — $\frac{\sin 3x}{3}$. Ответ: $\frac{\sin 3x}{3}+C$ — функция с константой.
2. 2
   Проверка: ${\left(\frac{\sin 3x}{3}\right)}^{\prime }=\frac{3\cos 3x}{3}=\cos 3x$ — производная вернулась, интеграл верен.
3. 3
   Определённый: те же $\frac{\sin 3x}{3}$, но теперь подставляем пределы: $\frac{\sin (3\pi /2)}{3}-\frac{\sin 0}{3}=\frac{-1}{3}-0=-\frac{1}{3}$.
4. 4
   Ответ — число $-\frac{1}{3}$, причём отрицательное: на $[0;\pi /2]$ косинус успевает побыть и над осью (до $x=\pi /6$), и под ней.
5. 5
   Баланс: горб над осью дал $\frac{1}{3}$, впадина под осью — $-\frac{2}{3}$; сумма $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$. Переменная $x$ в ответе исчезла — она умерла при подстановке пределов.

Отрицательное число — не сюрприз, а честный ответ: определённый интеграл считает площадь со знаком, части под осью входят с минусом. Если нужна «настоящая» площадь без знаков, интегрируют модуль — ${\int }_0^{\pi /2}|\cos 3x|dx=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$ — и это уже другой интеграл, требующий разбиения по нулям функции. У неопределённого интеграла таких вопросов нет вовсе: он не про площадь, а про восстановление функции.

Откуда берётся число#

Мост между мирами — формула Ньютона–Лейбница: ${\int }_a^{b}fdx=F(b)-F(a)$, где $F$ — любая первообразная. Она превращает проблему «посчитать накопление» в проблему «найти первообразную», и потому вся таблица интегралов работает сразу на оба интеграла. При этом связь не взаимна: определённый интеграл существует и тогда, когда первообразная в элементарных функциях не записывается — классика ${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$, где число честно существует, а «взять интеграл» в школьном смысле нельзя. В таких случаях работают определение через интегральные суммы, свойства и численные методы.

У неопределённого интеграла такой картинки «площади» нет — зато есть другая: семейство $x^3+C$ — стопка кривых, у каждой наклон в каждой точке равен $3x^2$. Определённый интеграл измеряет, неопределённый — восстанавливает. Два разных вопроса, две разные картинки, одна общая техника.

Что дальше: таблица интегралов в двух форматах — шпаргалка по интегралам и шпаргалка методов интегрирования; маршрут решения — в разборе как решать интегралы; практика — в тренажёре интегралов. Более техничный разбор той же пары — в сравнении определённый против неопределённого интеграла, а где интеграл встречается с производной как противоположность — в сравнении производная против интеграла.