Ряд Тейлора и Маклорена: в чём разница

Спор «Тейлор или Маклорен» звучит как спор «квадрат или прямоугольник со стороной единица»: Маклорен — не альтернатива Тейлору, а его вырожденный, самый удобный случай. Вся разница живёт в одной букве формулы — точке разложения $a$. У Тейлора она любая, у Маклорена — ноль. Но из этой крошечной разницы вырастают большие практические следствия: готовая таблица эталонных разложений, простые производные в нуле и — главная ловушка — ограниченный круг сходимости, который у Маклорена часто не дотягивается до цели.

Полная теория — в уроке формула Тейлора, термин с формулировками — ряд Тейлора; здесь — где какое имя уместно и как выбирать точку под задачу.

Чем отличаются ряды Тейлора и Маклорена: таблица#

Строка про таблицу эталонов объясняет, почему Маклорен звучит чаще. Все любимые разложения написаны именно в нуле: $e^x=\sum \frac{x^n}{n!}$, $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$, $\ln (1+x)=\sum \frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}$ при $-1<x\le 1$. Производные в нуле у этих функций считаются устно, поэтому эталонные ряды запоминаются как стихи. Ряд Тейлора в произвольной точке такой роскоши не даёт — зато решает задачи, где Маклорен в принципе бессилен.

Один ряд с двумя именами: $e^x$#

1. 1
   Маклорен для экспоненты: $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ — все производные равны $e^x$, а в нуле дают единицу.
2. 2
   Числовой тест: $e^{0,5}\approx 1+0,5+0,125+0,0208+0,0026+0,0003\approx 1,6487$ — совпадает с $e^{0,5}=1,6487213$.
3. 3
   Ряд Тейлора в точке $a=1$: все производные по-прежнему $e^x$, в точке $1$ дают $e$, поэтому $e^x=e\cdot \sum \frac{(x-1{)}^n}{n!}$.
4. 4
   Проверка сдвига: подставим $x=0$ — $e\cdot \sum \frac{(-1{)}^n}{n!}=e\cdot e^{-1}=1$. Сошлось: тот же $e^0$.
5. 5
   Радиус сходимости у экспоненты бесконечен, поэтому здесь оба ряда работают везде — различие только в скорости: чем ближе $x$ к $a$, тем меньше нужно членов.

Теперь случай, где выбор точки решает всё. Ряд Маклорена для логарифма $\ln (1+x)$ сходится только при $-1<x\le 1$ — значит, напрямую по нему не посчитать $\ln 3,7$: подставлять $x=2,7$ запрещено, ряд разлетится. Выход — перенести точку разложения: напишем $\ln 3,7=\ln e+\ln \frac{3,7}{e}=1+\ln (1+u)$, где $u=\frac{3,7}{e}-1\approx 0,361$ попал внутрь круга. Чередующийся ряд для $\ln (1+u)$ даёт $0,3083$ за десяток членов — итого $1,3083$ против точного $\ln 3,7=1,3083328$. Это и есть ряд Тейлора в работе: та же формула, точка выбрана под цель.

Остаточный член: цена вопроса#

Полином Тейлора — приближение, и остаточный член Лагранжа превращает «приближение» в точное утверждение: $R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$ для некоторой точки $\xi$ между $a$ и $x$. Для экспоненты в нуле это даёт рабочую оценку $|R_n|\le \frac{e\cdot |x{|}^{n+1}}{(n+1)!}$. Сколько членов нужно для $e$ с точностью $10^{-3}$? Оценка $\frac{3}{(n+1)!}<0,001$ даёт $(n+1)!>3000$, то есть $n+1=7$: семь слагаемых — до $x^6$ включительно. Ни Тейлор, ни Маклорен не обязывают угадывать точность — она считается формулой.

И одна оговорка, которую любят проверять на устных экзаменах: разложение Тейлора не всегда возвращает функцию. Классика — гладкая функция $e^{-1/x^2}$ (с доопределением нулём в начале координат): все её производные в нуле равны нулю, ряд Маклорена тождественно равен нулю, а функция — нет. Поэтому строго говоря, «ряд Тейлора функции» и «функция» — разные объекты, и их совпадение требует аналитичности: для экспоненты, синуса, косинуса и логарифма она есть, для экзотики — не обязательно.

Что дальше: определение термина — ряд Тейлора и ряд; формулы эталонных разложений — в шпаргалке по рядам; практика — в тренажёре рядов и на странице задачи на ряды; алгоритм исследования рядов — в разборе как исследовать ряд на сходимость. Смежное сравнение внутри той же темы — ряд Тейлора против ряда Маклорена, соседняя тема курса — степенные ряды.