📈 Матанализ

Ряд Тейлора и ряд Маклорена: разница, которую видно в числах

Q: Маклорен и Тейлор — это два разных ряда?

Нет, это одна формула разложения по степеням разности $x - a$. При $a = 0$ её называют рядом Маклорена, при произвольной точке $a$ — рядом Тейлора. Все практические различия сводятся к выбору точки: от неё зависят радиус сходимости, скорость и то, какие значения вообще можно посчитать. Спор «какой ряд сильнее» лишён предмета — инструмент один, настраивается точкой.

Q: Почему ряд для ln(1+x) не работает при x больше единицы?

У логарифма особенность в нуле аргумента, поэтому круг сходимости Маклорена — интервал от −1 до 1. При $x = 1{,}5$ вы просите ряд описать функцию за кругом: члены перестают убывать, частичные суммы расходятся. Лечение — сдвинуть точку разложения: вокруг $a = 2$ ряд покрывает весь интервал от 0 до 4, и $\ln 2{,}5$ считается восемью членами.

Q: Как заранее оценить нужное число членов ряда?

Через остаточный член Лагранжа: ошибка равна $f^{(n+1)}(\xi)\,(x-a)^{n+1}/(n+1)!$ с промежуточной точкой $\xi$ между $a$ и $x$. Оцените максимум модуля $(n+1)$-й производной на отрезке и решите неравенство относительно $n$ — точность покупается по прейскуранту, а не наугад. Для $e^{0{,}5}$ оценка даёт восемь членов до $10^{-6}$, и прямой численный счёт это подтверждает: семи мало, восьми хватает с запасом.

Q: Что калькуляторы и библиотеки делают с рядом Тейлора?

Две вещи. Первая — редукция аргумента: большой аргумент сводят вычитанием периодов к малому, где ряд сходится за считанные члены. Вторая — специальные формулы для опасных мест: вместо вычитания близких чисел вроде $1 - \cos x$ считают $x^2/2 - x^4/24$, иначе катастрофическое сокращение съедает значащие цифры. Оба приёма — выбор точки разложения под задачу, доведённый до автоматики.

Ряд ТейлораРяд Маклорена

Коротко: Маклорен — это Тейлор в нуле; выбирают не имя, а точку разложения под задачу. Цель рядом с нулём — Маклорен. Цель далеко от нуля или за радиусом — сдвигайте a к цели: круг сходимости едет вместе с точкой, скорость определяется расстоянием |x − a|, а число членов диктует остаточный член Лагранжа.

План на семестр Вердикт: с чего начать

Зачёт по матанализу, задание звучит безобидно: посчитайте $ln 2, 5$ с точностью до шестого знака. В конспекте есть готовый ряд для логарифма — $ln (1 + x) = x - x^{2} /2 + x^{3} /3 - \dots$ Подставляем $x = 1, 5$ и складываем: 1,5; 0,375; 1,5; 0,234; 1,753; −0,145. Частичные суммы гуляют всё шире, члены растут — ряд не сходится. Хотя формула выписана верно и сам логарифм, конечно, существует. Виноват не ряд, а точка, вокруг которой его разложили.

Тейлор и Маклорен при этом — не два соперника, а один инструмент с подвижной настройкой: Маклорен — частный случай Тейлора при $a = 0$ . Вся реальная разница живёт в выборе точки $a$ : от неё зависят радиус сходимости, скорость и сама возможность посчитать нужное значение. Ниже — общая формула с остаточным членом Лагранжа, честный пересчёт $e^{0, 5}$ и $ln 2, 5$ до $1 0^{- 6}$ , эксперимент с синусом около $π /2$ и правило «когда что брать». База — в уроке формула Тейлора, теория сходимости — в уроке степенные ряды; определения под рукой — термины ряд Тейлора и логарифм.

Критерий	Тейлор вокруг точки $a$	Маклорен ($a = 0$)
Что это	общая форма: разложение в окрестности произвольной точки $a$	тот же ряд с зафиксированной точкой $a = 0$ — частный случай, а не альтернатива
Член ряда	$f^{(n)} (a) (x - a)^{n} / n!$	$f^{(n)} (0) x^{n} / n!$
Круг сходимости	центр в $a$ , радиус — до ближайшей особенности функции	центр в нуле: у $ln (1 + x)$ радиус всего 1
Быстро считает	значения вблизи $a$ — хоть $2, 5$ , хоть $π /2$	значения вблизи нуля
Где незаменим	вычислительная практика: библиотеки, редукция аргумента	прикидки и асимптотики при $x \to 0$
Типичная ошибка	взяли $a$ далеко от цели — ряд еле ползёт	подставили $x$ за радиусом — суммы расходятся

Один инструмент, две настройки: Маклорен — Тейлор с закреплённой точкой разложения

Что честно означает «Маклорен — частный случай Тейлора»?#

Общая формула требует перечислить все производные функции в точке $a$ — для этого нужна гладкость нужного порядка, механика производных описана в уроке производные высших порядков:

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}

ряд Тейлора:

f^{(n)} (a)

— производная n-го порядка в точке разложения,

n!

— факториал,

(x - a)

— смещение от точки

Положите $a = 0$ — и получится ряд Маклорена: все $(x - a)$ превратятся в $x$ , а производные станут считаться в нуле:

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}

ряд Маклорена: та же формула при

a = 0

; табличные разложения

e^{x}

sin x

ln (1 + x)

из учебников — всё они Маклорена

Практический смысл выбора точки: это точка старта прогулки. Формула одна, но от старта зависит, до каких мест вы дойдёте, пока не кончится карта. Карта — круг сходимости, и он привязан к точке старта. Отсюда весь дальнейший разговор: не «какой ряд сильнее», а «где поставить точку $a$ для конкретного $x$ ».

Почему точка разложения решает: где кончается круг сходимости?#

Степенной ряд сходится внутри круга с центром в точке разложения. Радиус задаёт ближайшая особенность функции — точка, где она перестаёт быть гладкой (для комплексной плоскости это видно особенно ясно, см. урок ряды Тейлора и Лорана в ТФКП):

R = k min ∣ z_{k} - a ∣

радиус сходимости: расстояние от

a

до ближайшей особенности

z_{k}

; для

ln (1 + x)

особенность в

x = - 1

, поэтому круг Маклорена — интервал

(- 1; 1)

У логарифма особенность сидит в нуле аргумента, и из точки $a = 0$ до неё ровно единица: ряд $ln (1 + x)$ обязан молчать при $∣ x ∣ > 1$ . Попытка посчитать так $ln 2, 5$ (то есть $x = 1, 5$ ) даёт суммы 1,5; 0,375; 1,5; 0,234; 1,753; −0,145; 2,296; −0,908 — размах растёт, предела нет. Сдвинем точку разложения к цели. Вокруг $a = 2$ логарифм раскладывается в ряд, работающий при любом $z \in (0; 4)$ :

ln z = ln a + \frac{z - a}{a} - \frac{( z - a ) ^{2}}{2 a ^{2}} + \frac{( z - a ) ^{3}}{3 a ^{3}} - \dots

логарифм вокруг точки

a

; ближайшая особенность

z = 0

теперь на расстоянии

a

, и

z = 2, 5

попадает в круг с запасом

Шаг 1: попытка через Маклорен, $x = 1, 5$ . Члены $1, 5; - 1, 125; + 1, 125; - 1, 266; + 1, 519; - 1, 898$ — не убывают. Частичные суммы гуляют от −5 до +5. Диагноз: $x$ за радиусом сходимости, ряда не существует.
Шаг 2: ряд вокруг $a = 2$ , относительное смещение $h = (z - a) / a = 0, 25$ . Члены $0, 25; - 0, 03125; + 0, 00520833; - 0, 00097656$ — убывают в геометрической прогрессии со знаменателем $0, 25$ .
Шаг 3: складываем с $ln 2 = 0, 69314718$ : $0, 69314718 + 0, 25 - 0, 03125 + 0, 00520833 - 0, 00097656 + 0, 00019531 - 0, 00004069 + 0, 00000872 - 0, 00000191 = 0, 9162904$ .
Шаг 4: сверяем с точным значением $ln 2, 5 = 0, 91629073$ : после восьми членов ошибка $3, 5 \cdot 1 0^{- 7}$ — допуск $1 0^{- 6}$ закрыт с запасом.
Шаг 5: для контраста — $ln 1, 9$ через тот же Маклорен ( $x = 0, 9$ , внутри круга, но у границы): до $1 0^{- 6}$ нужны 83 члена. Даже внутри круга близость к границе означает ползучую сходимость; сдвиг $a$ к цели лечит и это.

Отсюда рабочее правило: перенос точки разложения — это перенос карты. Цель вне круга становится достижимой, цель у края круга — быстрой. Свойства логарифма и степеней, которыми приходится ворочать при таких сдвигах, собраны в шпаргалке по логарифмам и степеням.

Сколько членов брать: что говорит остаточный член Лагранжа?#

Обрывая ряд, вы обязаны знать цену обрыва. Её называет остаточный член — промежуточная точка $ξ$ между $a$ и $x$ появляется из теорем о среднем:

R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}, ξ \in (a, x)

остаточный член Лагранжа: чтобы оценить ошибку, берите максимум

∣ f^{(n + 1)} ∣

на отрезке между

a

x

и решайте неравенство относительно

n

Пример: $e^{0, 5}$ через Маклорен. Все производные экспоненты равны ей самой, значит $∣ f^{(n + 1)} (ξ) ∣ \leq e^{0, 5} < 1, 65$ (свойства экспоненты — в термине число e, фундамент — в термине экспонента):

Шаг 1: оценка остатка $R_{n} \leq 1, 65 \cdot 0, 5^{n + 1} / (n + 1)!$ — геометрический член с факториальным знаменателем падает стремительно.
Шаг 2: $n = 6$ (семь членов): $1, 65 \cdot 0, 5^{7} /7! \approx 2, 6 \cdot 1 0^{- 6}$ — ещё больше допуска. И действительно, частичная сумма $1, 6487196$ даёт ошибку $1, 7 \cdot 1 0^{- 6}$ .
Шаг 3: $n = 7$ (восемь членов): $1, 65 \cdot 0, 5^{8} /8! \approx 1, 6 \cdot 1 0^{- 7} < 1 0^{- 6}$ — хватит.
Шаг 4: частичная сумма $1 + 0, 5 + 0, 125 + 0, 02083333 + 0, 00260417 + 0, 00026042 + 0, 00002170 + 0, 00000155 = 1, 64872117$ против точного $1, 64872127$ : ошибка $1, 0 \cdot 1 0^{- 7}$ — теория и счёт сошлись.

Заметьте: восемь членов — не «с запасом», а ровно по расчёту; седьмого не хватило бы. Оценка остатка — это способ купить точность по прейскуранту, а не наугад.

Зачем раскладывать sin вокруг π/2, а не нуля?#

Маклорен для синуса быстр только при малых $x$ . Посчитаем $sin 1, 5$ : пять членов дают ошибку $2, 1 \cdot 1 0^{- 6}$ — чуть выше допуска, шесть членов (до $x^{11}$ ) наконец дают $3, 1 \cdot 1 0^{- 8}$ . А теперь сместим точку разложения в $a = π /2$ и обозначим $u = x - π /2 = - 0, 0708$ :

sin x = cos (x - \frac{π}{2}) = 1 - \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{4}}{24} - \dots

сдвиг точки разложения в

π /2

превращает синус в косинус малой добавки: уже квадратичный член даёт шесть знаков

Числа: $1 - u^{2} /2 = 0, 997494$ — ошибка уже $1, 0 \cdot 1 0^{- 6}$ ; добавив член $u^{4} /24$ , получаем $0, 9974949868$ при точном $0, 9974949866$ — ошибка $1, 7 \cdot 1 0^{- 10}$ . Три слагаемых против шести, и точность выше на четыре порядка. Вот зачем существуют разложения в точках $a \neq = 0$ : цель вычисления редко живёт в нуле, и правильно поставленная точка делает половину работы за вас.

Как калькуляторы применяют ряды на практике?#

Первый приём — редукция аргумента. Чтобы посчитать $sin (1000, 5)$ , никто не суммирует ряд по огромному $x$ : аргумент сначала сводят вычитанием кратного $2 π$ к малому остатку, а уж его гоняют через ряд. Каждый вызов библиотечной функции начинается с переноса точки разложения к аргументу — та же идея «сдвинь $a$ к цели», только в железе. Как при этом копятся погрешности переноса — отдельная наука, введение в неё — в уроке источники погрешностей.

Второй приём — формулы, написанные специально под точку, где живут вычисления. Возьмём $1 - cos (1 0^{- 5})$ : точное значение $5, 0 \cdot 1 0^{- 11}$ . В десятизначной арифметике $cos (1 0^{- 5}) = 0, 9999999999$ , и вычитание близких чисел выдаёт $1, 0 \cdot 1 0^{- 10}$ — вдвое больше точного, из десяти значащих цифр выжила одна. При $x = 1 0^{- 6}$ разность и вовсе обнулится. А теперь ряд, переставленный под задачу: $1 - cos x = x^{2} /2 - x^{4} /24 + \dots$ даёт $5, 0 \cdot 1 0^{- 11}$ без единой потери — никакого сокращения, потому что вычитания близких величин просто нет.

Когда брать Маклорен, а когда сдвигать Тейлор?#

Ситуация	Что брать	Почему
значения около нуля, асимптотика при $x \to 0$	Маклорен	ряд вокруг нуля самый короткий: $∣ x ∣$ мало, члены тают на глазах
значение далеко от нуля (например $ln 2, 5$ )	Тейлор вокруг ближайшей удобной $a$	цель попадает внутрь круга сходимости, члены убывают быстро
$sin$ / $cos$ около $π /2$ , $π$ и других опорных точек	сдвиг аргумента, затем ряд	первый ненулевой член квадратичный — точность скачком
программирование библиотечных функций	редукция аргумента + ряд	аргумент заводят в узкое окно, где ряд сходится за несколько членов
разности близких величин ( $1 - cos x$ , $e^{x} - 1$ )	готовая формула из ряда	иначе катастрофическое сокращение съест значащие цифры
учебное задание «разложите в точке $a$ »	общий ряд Тейлора	механика одна: Маклорен — тот же ряд при $a = 0$

Выбирают не имя ряда, а точку разложения и оценку остатка

Шаг 1: найдите особенности функции — нули знаменателя, точки разрыва, границы областей определения. Они рисуют запретные точки на карте.
Шаг 2: поставьте $a$ ближе к целевым значениям $x$ — скорость сходимости определяется расстоянием $∣ x - a ∣$ .
Шаг 3: прикиньте радиус: расстояние от $a$ до ближайшей особенности. Цель должна попасть в круг с запасом, не у самой кромки.
Шаг 4: число членов возьмите из оценки остатка Лагранжа — по прейскуранту, не наугад.
Шаг 5: если считаете разности близких величин, перепишите выражение через ряд заранее: после вычитания цифры уже не спасти.

Проверь себя+15 XP

Сколько членов ряда Маклорена достаточно для $e^{0, 5}$ с точностью $1 0^{- 6}$ ?

Проверь себя+15 XP

Что произойдёт, если $ln 2, 5$ считать через ряд Маклорена для $ln (1 + x)$ при $x = 1, 5$ ?

Как это спрашивают на зачёте

Формулировка «в чём отличие ряда Маклорена от ряда Тейлора» ловит на слове: верный ответ — «никак, Маклорен есть Тейлор при

a = 0

», после чего любят уточнение «а зачем тогда Тейлор?» — рассказывайте про радиус сходимости и сдвиг точки. Вторая классика: «разложите

ln x

в окрестности

x = 2

» — подставляйте в общую формулу, не забывая слагаемое

ln a

. Третья — оценка остатка: без упоминания

ξ

из теоремы о среднем балл снимают.

Частые вопросы

Маклорен и Тейлор — это два разных ряда?

Нет, это одна формула разложения по степеням разности $x - a$ . При $a = 0$ её называют рядом Маклорена, при произвольной точке $a$ — рядом Тейлора. Все практические различия сводятся к выбору точки: от неё зависят радиус сходимости, скорость и то, какие значения вообще можно посчитать. Спор «какой ряд сильнее» лишён предмета — инструмент один, настраивается точкой.

Почему ряд для ln(1+x) не работает при x больше единицы?

У логарифма особенность в нуле аргумента, поэтому круг сходимости Маклорена — интервал от −1 до 1. При $x = 1, 5$ вы просите ряд описать функцию за кругом: члены перестают убывать, частичные суммы расходятся. Лечение — сдвинуть точку разложения: вокруг $a = 2$ ряд покрывает весь интервал от 0 до 4, и $ln 2, 5$ считается восемью членами.

Как заранее оценить нужное число членов ряда?

Через остаточный член Лагранжа: ошибка равна $f^{(n + 1)} (ξ) (x - a)^{n + 1} / (n + 1)!$ с промежуточной точкой $ξ$ между $a$ и $x$ . Оцените максимум модуля $(n + 1)$ -й производной на отрезке и решите неравенство относительно $n$ — точность покупается по прейскуранту, а не наугад. Для $e^{0, 5}$ оценка даёт восемь членов до $1 0^{- 6}$ , и прямой численный счёт это подтверждает: семи мало, восьми хватает с запасом.

Что калькуляторы и библиотеки делают с рядом Тейлора?

Две вещи. Первая — редукция аргумента: большой аргумент сводят вычитанием периодов к малому, где ряд сходится за считанные члены. Вторая — специальные формулы для опасных мест: вместо вычитания близких чисел вроде $1 - cos x$ считают $x^{2} /2 - x^{4} /24$ , иначе катастрофическое сокращение съедает значащие цифры. Оба приёма — выбор точки разложения под задачу, доведённый до автоматики.

Следующий шаг: возьмите одну функцию и посчитайте одно и то же значение из двух точек разложения — разница в числе членов скажет больше любой формулировки. Тренировка — в задачах по рядам и разборе, как решать ряды, формулы под рукой — в шпаргалке по рядам; техническая практика счёта — в тренажёре по рядам. Смежная развилка «ряд или интеграл» разобрана в сравнении ряд и несобственный интеграл, сходимость на другом уровне строгости — в уроке числовые ряды, а за рядом Лорана — в терминах ряд Лорана и факториал.